A B/ \ PB

Voici la construction porismatique d'Eucfide qui représente ht solution la plus générale du problème.

Soit pris quelconque le point 0; je joins AO qui coupe YBC en P, et, par 0, je mène OQ parallèle à ABD et rencontrant YBC en Q. Je mène également, parallèle à ABD, l'indéfinie PNM. Je joins Q\) qui

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coupe PNM en N. Je dis que los deux points 0, N satisfont à la question, c'est-à-dire que si l'on prend n'importe où sur la droite YBC nn point H, et qu'on joigne OH, NH, qui coupent la droite ABD aux points !, V, on aura dans tous les cas AI x UV = AB x BD.

PoursME II. — Étant donné un cercle ABDC {Jig. 68) de diamètre AC, de centre M, trouver deux points E, N, tels que si l'on en mène, brisée sur un point quelconque D de la circonférence , une ligne EDN coupant le diamètre aux points Q, H, iî somme des carrés de QD, DH soit au triangle QDH dans un rapport donné et que cette relation subsiste toujours généralement, quelle que soit la ligne brisée.

J'élève du centre M perpendiculairement au diamètre la droite MB. Je pose -yjg- ég^' 3u rapport donné. En V, j'élève VE perpendiculaire au diamètre et égale àYB; je prends MO — MV, et je mène ON égale et parallèle à VE. Je dis que les points cherchés sont les points E, N, c'està-dire que si l'on prend un point quelconque D de la circonférence, qu'on joigne ED, ND, qui coupent le diamètre aux points Q, H, on

On ne propose pas seulement de trouver la démonstration de ce porisme. Que les mathématiciens plus subtils voient s'il n'y a pas en dehors de E et de N deux autres points qui puissent satisfaire au problème et s'il y a, comme dans le premier porisme, des solutions en

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17e. TTi ['KàGMENTS GEOMETRIQUES. 73

nombre indéfini. Si je n'ai pas de réponse, je ne dédaignerai pas de venir au secours de la Géométrie sur le point où elle se trouvera en

défant.

PORISMES D'EUCLlDi:,

LEUR TUliORIE UEJIOUVELÉË ET PRÉSENTÉE A(iX GÉOJILTI'.ES IIOUI'.IINES SOUS FORME D'iXTfiOCUCTION.

Au commencement de son Livre VU, Pappus a énuméré les Livres des géomètres anciens qui faisaient partie de l'ensemble analytique. Tous ces Livres sont perdus par l'effet du temps, sauf le seul Livre d'Euclide sur les Données et les quatre premiers des Coniques d'Apollonius; aussi les géomètres modernes ont-ils eu à faire de grands efforts pour réparer tant soit peu la perte d'Ouvrages, dont l'âge destructeur tendait à abolir jusqu'à la mémoire. Avant tous, François Viète, ce génie si subtil qu'on ne louera jamais assez, a heureusement restitué les Livres d'Apollonius Sur les contacts dans un Livre unique qu'il a intitulé 1' k Apollonius Gallus ». Son exemple a excité Marine Ghetaldi etAVillebrord Snellius à aborder des entreprises analogues, dans lesquelles ils ont assez réussi pour que, grâce à eux, nous ne regrettions plus guère les Livres d'Apollonius De. la section en rapport, De la section en produit. De la section déterminée. Des convergences. Suivaient les Lieux plans, les Lieux solides et les Lieux en surface. Ces matières ont été traitées à leur tour par des géomètres dont le nom n'est pas inconnu, et, quoique manuscrits et encore inédits, leurs travaux ne sont pas restés ignorés.

Mais il reste encore, vierge de toute tentative et comme désespérante, la théorie des Porismes d'Euclide. Pappus a beau affirmer que c'était « une œuvre pleine d'art et de la plus grande utilité pour la solution des problèmes les plus obscurs », les géomètres de l'âge écoulé ou du temps actuel en ont ignoré jusqu'au nom, ou n'oni pas

Feruit. — lu. !0

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même soupçonné de quoi il s'agissait. J'ai longtemps tâtonné dans de profondes ténèbres, cherchant en vain comment relever la Géométrie de ce côté, jusqu'à ce qu'enfin « une lumière éclatante a frappé mes yeux et a dissipé pour eux l'obscurité de la nuit ». Je ne veux pa^ cacher jalousement à la postérité un spécimen de ma découverte à la fois ancienne et nouvelle, alors que l'astre de Suède brille sur toutes les sciences et que nous déroberions en vain comme des mystères les secrets des Mathématiques; il n'est en eS'et rien qui puisse échapper au clairvoyant génie de cette reine incomparable, et il ne nous est pas permis de cacher une théorie qui, nous pouvons à peine en douter, serait découverte au premier signe venu d'elle, comme inspiration ou comme ordre.

Pour jeter donc la lumière sur toute cette question des porismes, j'ai choisi un certain nombre des plus remarquables propositions porismatiques, et je les présente avec confiance à l'attention et ii l'examen des géomètres, pour bien faire connaître ce qu'est un porismc et quel en est surtout l'usage.

Soient deux droites ON, OC (fig. 69) formant un angle au point 0 et données de position. Soient donnés également les points A et B.

De ces points A, B, on mène les droites BE, AF, parallèles h OC et rencontrant NO prolongée aux points E, F. On joint AE qui rencontre CO |>rolongée en D, et on joint aussi FB qui rencontre en C cette même

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