FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES

En second lieu, avec les mêmes positions, si l'on jninL CL, (jiie l'cni prenne, égale à cette droite, LP perpendiculaire au diamètre, et qu'on mène RZ paralIMe et égale à LP; si des deux points Z et P on mène brisée sur la circonférence une ligne comme PVZ, coupant le diamètre aux points K, T, la somme AT^+ BK^ sera toujours égale à une autre aire donnée.

PoHLSMi: V.

Soit le cercle RAC(,/(^. ^S), son diamètre RDC donné, son centre D, son rayon D A normal au diamètre. Soient pris arbitrairement sur ie

diamètre, mais à égale dislance du centre D, deux points Z, B. Joignons AZ; menons, égale à cette droite, ZM perpendiculaire au diamètre et BO égale et parallèle à ZM. Qu'on mène, brisée sur la circonférence, une ligne quelcon(|ue MHO, coupant le diamètre aux points E,

N; le rapport -

I sera donné et égal au rapport jj^-

Par l'énoncé de ces proposilions, dont personne ne niera i'élégance et la beauté, on peut facilement reconnaître la nature même des porismes. Il est évident en effet qu'on peut, ainsi que le dit Pappus, les énoncer comme théorèmes ou comme problèmes. Je les ai énoncées comme théorèmes; mais rien n'empêche de les transformer en problèmes. Par exemple le porismc V peut être conçu comme suit :

Etant donné un cercle RAC de diamètre RC, trouver aeux points M et 0, tels que si de ces points on mène, biisée sur la circonférence, une

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ligne quelconque MHO, on ait toujours comme donné le rapport au triangle EHN de la somme des carrés des abscisses EH, HN.

La construction résulte du théorème qui précède : si en effet on prend dans le rapport donné jy^i tout le reste s'ensuit. De la même manière, on peut, pour tous les autres porismes sans exception, transformer facilement les théorèmes en problèmes.

D'autre part, Pappus indique qu'au sens des géomètres postérieurs à Euclide : « le porisme est en défaut, en ce qui concerne l'hypothèse, par rapport au théorème de lieu ». Cela révèle entièrement la nature spéciale du porisme et c'a été presque sans autre indice que celui fourni par ces mots que nous avons pénétré les secrets de cette matière.

Lorsque nous cherchons un lieu, nous nous proposons de trouver une ligne droite ou une courbe qui nous est inconnue en tant seulement que nous avons à déterminer le lieu qu'occupe la ligne à trouver; mais quand nous partons d'un lieu supposé donné et connu pour en trouver un autre, ce nouvoau lieu est appelé porisme par Euclide, et c'est pourquoi Pappus a ajouté avec grande raison que les lieus eux-mêmes sont une espèce de porismes et qu'on leur donne ce nom.

Comme seul exemple, nous allons appliquer notre définition à la figure du porisme V. La droite RC étant donnée, si l'on cherche une courbe quelconque telle que RAB dont la propriété soit qu'en abaissant d'un quelconque de ses points A la perpendiculaire AD, on ait AD-= RD X DC, nous trouverons que la courbe RAC est une circonférence de cercle. Mais si, ce lieu étant déjà donné, nous partons de là pour en trouver un autre, par exemple, le problème du porisme V, ce nouveau lieu sera appelé /jomme, comme tous les autres en nombre infini que la sagacité d'un analyste exercé peut imaginer et déduire de celui qui est déjà connu.

Gomme nous l'avons déjà dit, les lieux eux-mêmes sont des porismes ; il faut d'ailleurs corriger d'après le texte grec l'erreur du traducteur

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[83,84] FRAGMENTS GEOMETRIQUES. 79

de Pappus k cet endroit où il dit que : « L'Ouvrage des Porismes est très utile pour les résolutions des problêmes les plus obscurs et de leurs genres qui ne comprennent pas celte nature gui en fournit la multitude ». Ces derniers mots, pour ainsi dire, n'offrent aucun sens; il faut recourir à Pappus lui-même dont le texte est le suivant, d'après les manuscrits ;

IIop(ff[Aa'c« ÈCTTi TToT.XoVç à'0p(/'.3'[;.a ^iXoTEyvsTaTOv sic Tr^v ù.-rjXuii<.v Twv È[J.j3piÔ£ffTip(j)v ■îvpoj3Xïîfy.7.TCOv xal Tôiv ycvôjv àTZEpiX-zj-R-rov ':fjc; '^>J(tïo)ç

Pappus dit que les porismes servent à l'analyse des problèmes plus obscurs et des genres, c'est-à-dire des problèmes généraux. Il résulte en effet de ce que nous avons dit que les propositions des porismes sont générales au plus haut degré. Puis il ajoute : « dont la nature fournit une multitude à peine compréhensible à l'esprit », mots par lesquels il indique ces solutions en nombre infini du même problème, qui tiennent presque du miracle.

A notre invention de ces tliéorèmes ou problèmes, s'ajoute iine méthode particulière, dérivant de la pure Analyse, et grâce à laquelle, avec les cinq porismes précédents, nous en avons trouvé, construit et démontré beaucoup d'autres.

Si les savants accueillent avec faveur ce peu que nous donnons ii titre seulement d'introduction et de prodrome d'une œuvre plus approfondie, nous pourrons un jour restituer la totalité des (rois Livres des porismes, et, bien plus, pousser plus loin qu'Euclide luimême et découvrir des porismes vraiment étonnants et qui jusqu'il présent sont inconnus, sur les sections coniques et sur d'autres courbes quelconques.