PROPOSITION DE M. DE FERMAT SUR LA PARABOLE

J'ai proposé de décrire une parabole par quatre points donnés.

11 y a deux cas, pour chacun desquels il faut d'abord poser le lemni

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suivant. Soit ECBAD i^fig. 74) une parabole dont le diamètre AF est donné de position; soient également donnés les points B, C de la parabole et l'angle des ordonnées sur le diamètre AF. Je dis que la

parabole est donnée de position.

Menons les ordonnées BN, (-î^ Du point B donné, BN est menée sous un angle donné (puisqu'on donne l'angle des ordonnées) sur AF donnée de position; donc le point N est donné; de même M. Les droites BN, CM sont donc données de position et de grandeur. Mais d'après la nature de la parabole, g^ — ^^, si l'on suppose que A est le sommet de la parabole ou l'extrémité du diamètre. Le rapport '-rrr est ainsi donné, ou, dividendo, le rapport j^^; mais MN est donnée, avec les points M et N, done NA, donc le point A. Si d'ailleurs on pose ^., = -y-7 Z côté droit de la parabole sera donné, les autres droites

l'étant. Ainsi, on a donnés : le sommet A, le côté droit Z, le diamètre AF de position, l'angle des ordonnées. Donc la parabole est donnée de position (Apollonius, I, 52).

Cela posé, il est facile de construire le premier cas {Jig. yS). Soient donnés les quatre points B, C, D, F; si on les joint par les droites BC, CF, FD, DB, ou bien aucune ne sera parallèle h l'opposée, ou bien, comme dans ce cas, on aura par exemple BC parallèle à DF.

Prenons les milieux I, E de ces deux droites et supposons le problème résolu ; si on joint lE, qui divise par moitié deux parallèles, ce sera un diamètre de la parabole. Mais ï, E sont donnés, donc lE l'est de position, ainsi que l'angle DEL On a donc donnés : le diamètre lE

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de posil:ion, l'angle des ordonnéfis et deux points li, D de la parabole; donc la parabole DBACF est donnée de position.

Le second cas est plus difficile r c'est celui où aucune des droites joignant deux des points donnés n'est parallèle à une autre.

Soient donnés (Jig- 76) quatre points X, N, D, R, on sorte que si l'on joint XR, RD, DN, NX, aucune ne soit parallèle à l'opposée. Sup-

posons le problème résolu et tracée la parabole XANDBR satisfaisant à la condition proposée. Soient V le point de rencontre de XN, RD prolongées, Bl, C les milieux de XN, RD. Menez par ces milieux les diamètres MA, CB qui rencontrent la parabole aux points A, B, et par ces derniers lAS, SB parallèles k XV, VR et se rencontrant en S. Je joins AB, j'en prends le milieu en P et je joins SP.

l'f.Bil/.l. - III. I I

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82 ŒUVRES DE FERMAT. [S(î, s:i

Cette cotistrucLion faite, il est clair que lAS, menée par le ?ominet (lu diamètre MA parallèlement à l'ordonnée XN, est taogente à la parabole en A. On prouvera de même que SB est tangente à la parabole en B. Donc (Apoll., III, 17) ^y ^^ = ^r-- Mais les quatre points X,