FO.OC
Or il en est ainsi; car, Q étant le milieu de MB, on a FX — XC; d'autre part, dans la conique, 0X-— XP; donc, par différenco, FO = PC.
Il est facile de remonter de l'analyse à la synthèse, par une démonstration conduisant à l'impossible.
(') La condiiaioii devrait ûtre Pt'' = OC: ce qui revient au mâiiio eii rctraiicliaut OP de part et d'autre.
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INTRODUCTION
Quo les aticifiiis aient longuement traité des lieux, on iio peut en douter; nous le savons par Pappus, qui, au commencement du Livre VII, témoigne qu'Apollonius avait écrit sur les lieux plans, et Aristée sur les lieux solides. Mais, si nous ne nous trompons pas, la recherche des lieux ne leur était point suffisamment aisée. Nous le conjecturons de ce fait que, pour nombre de lieux, ils n'ont point donné un énoncé assez général, ainsi qu'on le verra plus loin.
Nous soumettons donc cette théorie a une analyse qui lui est propre et particulière, et qui ouvre la voie générale pour la reclicrche des lieux.
Toutes les fois que dans une équation finale on trouve deux quantités inconnues, on a un lieu, l'extrémité de l'une d'elles décrivant une ligne droite ou courbe. La ligne droite est simple et unique dans son genre; les espèces des courbes sont en nombre indéfini, cercle, parabole, hyperbole, ellipse, etc.
Toutes les fois que l'extrémité de la quantité inconnue qui décrit le lieu suit une ligne droite ou circulaire, le lieu est dit plan; si elle décrit une parabole, une hyperbole ou une ellipse, le lieu est dit solide; pour d'autres courbes, on l'appelle lieu de ligne. Nous n'ajouterons rien sur ce dernier cas, car la connaissance du lieu de ligne se déduit très facilement, au moyen de réductions, de l'étude des lieux plans et solides.
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86 ŒOVBES DE FERMAT. [32,93]
Il est commode, pour établir les équations, de prendre les deux quantités inconnues sous un angle donné, que d'ordinaire nous supposerons droit, et de se donner la position et une extrémité de l'une d'elles; pourvu qu'aucune des deux quantités inconnues ne dépasse le carré, le lieu sera plan ou solide, ainsi qu'on le verra clairement ci-après.
Soit NZM (Jig- 78) une droite donnée de position, dont on donne le
point N. Qu'on égalai NZ à la quantifé inconnue a, et la droite Zl
(menée sous l'angle donné NZl) à l'autre quantité inconnue e.
Soit
da — he.
Le point I sera une droite donnée de position.
En effet, on aura -j ~ - • Donc le rapport - est donné, ainsi que l'angle en Z. Donc le triangle NIZ est donné d'espèce, donc l'angle INZ. Mais le point N est donné, ainsi que la position de la droite NZ. Donc NI sera donnée de position. La synthèse est facile.
On ramènera à cette équation toutes celles dont les termes sont soit donnés, soit formés par les inconnues a et e, multipliées par des droites données ou bien prises simplement.
Soit posé s" — dr. On aura -y = — -—■
Soit pris MN — /■; le point M sera donné et l'on aura MZ -- r— i
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Le rapport ■„.- sera donc donne, ainsi que l'angle en Z. Donc le triangle IZM sera donné d'espèce, et en joignant Ml, on conclura que cette droite est donnée de position. Ainsi le point I sera sur une droite donnée de position, et la même conclusion se tirera sans difficulté pour toute équation qui aura des termes en a ou e seulement.
C'est là la première et plus simple équation de lieu, qui servira à trouver tous les lieux sur une ligne droite; par exemple la proposition 7 du Livre I d'Apollonius Des lieux plans, qui pourra dès lors s'énoncer et se construire plus généralement.
Cette équation renferme aussi la très belle proposition suivanle, que nous avons découverte par son moyen :
11 Soient, en nombre quelconque, des droites données déposition, auxquelles on mène d'un même point des droites sous des angles donnés; si la somme des produits des droites ainsi menées par des données est égale à une aire donnée, le point d'oà on les mène sera sur une droite donnée de position. !i
Nous omettons une infinité d'autres propositions, qui pourraient, a bon droit, être opposées à celles d'Apollonius.
Le second degré des équations de cette sorte se présente si ae ~ s", auquel cas le point I est sur une hyperbole.
Menez NR (Jig- 79) parallèle à ZI; prenez sur NZ un point quel-
conque, soit M, par lequel vous mènerez MO parallèle ;i ZI. Con-
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88 ŒUVRES DE FERMAT. [M,<ro]
sÈruisez lo rectangle NiMO égal à l'aire z". Par le point 0, entre (os asymptotes NR, NM, décrivez une hyperbole; elle sera donnée de position et passera par le point I, puisqu'on suppose ae. c'est-à-dire le rectangle NZI, équivalent au rectangle NMO.
On ramènera à cette équation toutes celles dont les termes sont, soit donnés, soit en a, en e ou en ae.
Ainsi soit t/" -h oe = ra -i- se.
D'après les règles de l'art, on aura ra -+- se — ae = d". Formez un rectangle de deux côtés, qui donnent les termes : ra-\- se — ae. Ces deux cotés seront a — s et r — e, et leur rectangle ra -r se ~ ae — rs.
Si maintenant de d" vous retranchez rs, le rectangle
Prenez NO {fig. 80) égal à s, et ND, parallèle à Z[, égale à r. Par le
Fig, Sn.
point D, menez DP parallèle à NM; par le point 0, OV parallèle à ND; prolongez ZI jusqu'en P.
Puisque NO = i> et NZ = fl, on a «— ,ï = OZ — VP. De même, puisque ND = ZP =/■ et Zl ^ e, on a r -e = PI. Le rectangle PVx PI est donc égal à l'aire donnée d" — rs\ le point I est donc sur une hyperbole ayant PV, VO pour asymptotes.
Si, en effet, prenant un point quelconque X et menant la parallèle XY, on construit le rectangle yW~d"—rs, et que par le point Y, entre les asymptotes PV, VO, on décrive une hyperbole, elle passera par le point I. L'analyse et la construction seront faciles dans tous les cas.
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Lk degré suivAr(T des équations de lifiu se présente si l'on a a- -- eou si a^ est à e^ dans un rapport donné, ou encore si a^ -+- ae est à c^ dans un rapport donné. Enfin ce cas comprend toutes les équations dont les termes vont jusqu'au carré, et sont en a', e' ou ae.
Dans tous ces cas, le point I est sur une ligne droite, ce qui est très facile à démontrer.
Si le rapport - ' >,,■, — '- est donné {fig- 8i), qu'oji mène une
sera le même
comme jl est très facile de le prouver. Le point 1 sera donc sur une droite donnée de position.
Il en sera de même pour toutes les équations dont tous les termes seront affectés des carrés des inconnues ou de leur rectangle; il est inutile de détailler plus exactement les cas particuliers.
Si aux carrés des inconnues avec ou sans leur rectangle s'ajoutent des termes soit donnés absolument, soit produits d'une droite donnée par l'une des inconnues, la construction est plus difficile. Nous la ferons brièvement dans les différents cas, avec la démonstration.
Si «^ = de, le point I est sur une parabole.
Soit {fig. 82) NP parallèle à ZI ; avec NP pour diamètre, décrivez la parabole dont le paramètre est la droite donnée d et dont les ordonnées sont parallèles à NZ. Le point 1 sera sur cette parabole, qui est donnée de position.
En effet, d'après la construction, le rectangle c/xNP:=PI-, ou autrement (/x IZ = NZ^, et par suite de = a-.
On ramènera facilement à celte équation toutes celles où tf se ren-
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contre avec des termes produits de e par des données, ou bien é avec des termes produits de a par des données; il en sera de même, quand
Fig. «=.
l'équation comprendrait en outre des termes absolument donnés;. Soit
é' — da.
Dans la ligure précédente, avec N pour sommet, NZ pour diamètre, décrivez la parabole dont le paramètre est d, et dont les ordonnées sont parallèles à la droite NP. fille satisfera à la question, comme cela
est évident.
Soit
b' — d^^^di: ou, par conséqueiil, lr~- (fe — a"^.
Divisez h~ par d; soit b'^ =^ dr. On aura donc
dr — de^ d' ou d{r — e) —dK
On aura ainsi ramené cette équation ii la précédente en substîtuanl r — e à e.
Soit en effet menée MN {fig. 83) parallèle à ZI et égale ;i r, et par
le point M, M0 parallèle à NZ. Le point M est donné, ainsi que la position de la droite MO. D'après cette construction. 01 = r — e. DoncrfxOï^NZ^=MO=.
La parabole déerite à partir du sommet M. sur le diamètre MN, avec
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fU:, 9R1
d comme paramètre et des ordonnées parallèles à NZ, satisfera à la question, comme il est clair d'après la construction.
Si b^-k-a^^de, on aura de — b^^^a^, etc., comme ci-dessus. On construira do même toutes les équations semblablement composées en a^ et e.
Mais a^ se trouve souvent avec e^ et des termes absolument donnés.
Soit A- — a- = e^.
Le point I sera sur un cercle donné de position, si l'angle NZl (;st droit.
Soit pris NM (^g. 84) égal à b. Le cercle décrit de N comme centre, avec NM comme rayon, satisfera à la question, c'est-à-dire que quel
Fi"'. 84.
que soit le point 1 pris sur sa circonférence, ZP(ouf-) sera égal ii !N'M^(ouô'') — NZ'(oua-), comme il est clair.
On ramènera à cette équation toutes celles qui ont des termes en «S e-, et en a ou e multipliés par des données, pourvu que l'angle NZl soit droit, et en outre que le coefficient de a^ soit égal à celui de e^.
Soit
Ajoutez de part et d'autre /*'' pour substituei A r^-i- b- ajoutez d-, pour substituer d -\- a [\ a, ot soit p- ~ d- — ida — a"--'--- r- -\- b''- — ida — à-.
a e, vous aurez
On aura
car par construction
Si maintenant, au lieu clo « + </, on prend a, et si, au lieu de e + r, on prend e, on aura
L'équation sera ramenée à la précédente.
On y ramènera par un raisonnement semblable toutes les équations pareilles. Grâce à ce procédé, nous avons construit toutes les propositions du second Livre d'Apollonius Sur les lieux plans, et nous avons démontré que les six premières ont lieu pour des points quelconques, ce qui est assez remarquable et était peut-être ignoré d'Apollonius.
3]ais soit — ^Î-^ dans un rapport donné, le point J sera sur une ellipse.
Soit pris Ws^h. Avec W comme sommet, N3I comme diamètre. N comme centre, décrivez une ellipse dont les ordonnées soient parallèles à la droite ZI et telle que les carrés des ordonnées soient aux rectangles des segments du diamètre dans le rapport donné; le point ï sera sur cette ellipse. Car N>P — NZ- est égal au rectangle des segments du diamètre.
On ramènera à cette équation toutes celles où à- se trouve dans un membre, opposé h e^ dans l'autre, sous un signe contraire, et avec un coefficient différent. Car, si les coefficients sont identiques et l'angle droit, le lieu sera un cercle, comme nous l'avons dit. D'ailleurs, quoique les coeflicients soient les mêmes, le lieu sera une ellipse, si l'angle n'est pas droit.
Si les équations comprennent en outre des termes produits de a ou c par des données, la réduction se fera néanmoins par l'artifice que nous avons déjà employé.
Soit ^.. dans un rapport donné, le point I est sur une liyperbole.
Menez NO {fig. 85) parallèle à ZI ; soit sTïTi dans le rapport donné. Le point R sera donné. Avec R comme sommet, ItO comme diamètre.
N comme centre, décrive/ une hyperbole dont les ordonnées soient parallèles à NZ, et telles que la somme de RO^ et du produit par RO du diamètre total [MR] soit ii OP dans le rapport donné -r^-
r. ■ , j ,ir\T MD MOxUli + MH'
Par conséquent, componenao, en prenant MM = NH, 7Tvr~-7Y —
est dans le rapport donné -^■
iMais MOxOR+NR= = NO^ = ZF = e^ et OP + Zz-^^NZ-^ (ou a= ) + /-=.
Donc T^ — ; = —rr^ et, convertendo, — -^ est le rapport donné.
Donc le point I est sur une hyperbole donnée de position.
Le même artifice que nous avons déjà employé ramènera à cette équation toutes celles où figurent a^ et e^ avec des termes donnés, soit simplement, soit en outre avec des termes produits de a ou e par des données, et où «* se trouve dans l'autre membre que e\ mais sous le même signe. Car, si les signes étaient contraires, on conclurait à un cercle ou à une ellipse.
L'êquatios la plus difficile est celle où à' et e^ figurent avpc des termes en ae, et en outre des termes donnés, etc.
Soit &*— 2a^= lae -h e^.
Ajoutez de part et d'autre a' pour avoir a -h e comme racine de l'un des membres :
94 ŒUVRES DE FERMAT. fl01,1031
A « -h e substituons e, par exemple, et, d'après ce qui précède, soit le cercle Ml {fig. 86) satisfaisant à la question : c'est-à-dire que
MNM= è= ) - NZ' ( = «^ ) =. ZP (^ [ a -^ e]^).
Soit VI -- NZ = a. On aura ZV = e.
Mais dans cette question nous cherchons seulement le point ^' ou l'extrémité de ia droite e. 11 faut donc voir et montrer sur quelle ligne se trouve le point V.
Soit MR parallèle à ZI et égale à MiX. Joignez NR que IZ prolongée rencontre en 0. Puisque MN = MR, NZ = ZO. Mais NZ = VI; donc, par addition, VO = ZI. Donc MN- — NZ^ = VO'. Mais le triangle NMR est donné d'espèce; donc le rapport -j^^ est donné, donc le rapport
jF^i donc le rapport tû^fEtsTh' ^^^'^ "'^'^^ avons prouvé que OV = MN'' — NZ' ; donc le rapport ^'^^^^^J^ est donné. JMais les points N et R sont donnés, ainsi que l'angle NOZ. Donc le point V, d'après ce qui a été démontré précédemment, est sur une ellipse.
Par un procédé analogue, on ramènera aux cas précédents tous les autres dans lesquels des termes en ae se rencontrent avec des termes les uns donnés, les autres en a^ et e^, ou encore produits de a et de e par des données; la discussion de ces difi'érents cas est très facile, et
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la question se résoudra toujours par le moyen d'un triangle connu d'espèce.
Nous avons donc embrassé dans un exposé Itref et lucide tout ce que les anciens ont laissé inexpliqué sur les lieux plans et solides ; par suite on reconnaîtra immédiatement quels lieux donnent tous les divers cas de la dernière proposition du Livre I d'Apollonius Des lieux plans, et on découvrira en général, sans grande difficulté, tout ce qui regarde cette matière.
Comme codronkemest de ce Traité, nous y ajouterons une très heik' proposition, dont la facilité apparaîtra aussitôt.
Etant données de position des droites en nombre quelconque, si d'un même point on mène à chacune d'elles une droite sous un angle donné, et que la somme des carrés des droites menées soit égale à une aire donnée, le point est sur un lieu solide donné de position.
Un seul exemple sutlil à indij:[itcr le procédé général de construction.
Soient donnés deux points N et M (Jîg. 87), et soit à trouver le lieu des points tels que si l'on mène les droites IN, IM, la somme de leurs carrés soit au triangle INM dans un rapport donné.
Soit posé NM = b. Appelons c la droite Zl menée perpendiculain ment, et a la distance NZ.
'■— iba -{
D'après les règles de l'art, donné.
be
est un rapport
Kn résolvant les positions d'après les règles exposées, la construction se fera comme suit.
Prenez en Z le milieu de MM; élevez en Z la perpendiculaire ZV; soil dans le rapport donné -—r-, sur VZ décrivez le demi-cercle VOZ, inscrivez ZO = ZM et joignez VO. De V comme centre avec VO pour rayon, décrivez le cercle OIR. Si d'un point quelconque R pris sur ce cercle, on mène RN, RM, je dis que RN*4- RM= est au triangle RNM dans le rapport donné.
Si cette découverte eût précédé notre restitution déjà ancienne des deux Livres Des lieux plans, les constructions des théorèmes de lieux en eussent été rendues beaucoup plus élégantes; cependant nous ne regrettons pas cette production, quoique précoce et insuffisamment mûrie. 11 y a en effet pour la Science un certain intérêt à ne pas dérober à la postérité les travaux encore informes de l'esprit; l'œuvre d'abord simple et grossière se fortifie et grandit par les nouvelles inventions. !1 est même important pour l'étude de pouvoir contempler pleinement les progrès cachés de l'esprit et le développement spontané de l'art.
