I -. ■ i • b' nera un prockut égal a
Mais si l'on propose de partager la même droite h en sorte que le produit des segments soit égal à s" (cette aire étant d'ailleurs à supposer plus petite que — )> on aura deux points satisfaisant à la question, et ils se trouveront situés de part et d'autre du point correspondant au produit maximum.
Soit en effet a un des segments de la droite h, on aura ba — a:- = :■"• équation ambiguë, puisque pour la droite a on peut prendre eliacnne
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des deux racines. Soit donc l'équatioti corrélative be — e- = z". Comparons ces deux équalions d'après la méthode de Viète :
Divisant de part et Ll'autre par a — e, il viendra
les longueurs « et e seront d'ailleurs inégales.
Si, au lieu de l'aire s", on en prend une autre plus grande, quoique toujours inférieure à -^i les droites aete différeront moins entre elles que les précédentes, les poiuts de division se rapprochant davantage du point constitutif du produit maximum. Plus le produit des segments augmentera, plus au contraire diminuera la différence entre a et e, jusqu'à ce qu'elle s'évanouisse tout à fait pour la division correspondant au produit maximum; dans ce cas, il n'y a qu'une solution unique et singulière, les deux quantités aete devenant égales.
Or la méthode de Viète, appliquée aux deux équations corrélatives ci-dessus, nous a conduit à l'égalité b:=a-\-e; donc, si e = « (ce qui arrivera constamment pour le point constitutif du maximum ou du minimum), on aura, dans le cas proposé, b = 2.a, c'est-à-dire que, si l'on prend le milieu do la droite b, le produit des segments sera maximum.
Prenons un autre exemple : Soil à partager la droite h de telle sorte que le produit du carré de l'un des segments par l'autre soit maximum.
Soit a l'un des segments : on doit avoir ba^ — à^ maximum. L'équation corrélative égale et semblable est be- — e^. Comparons ces deux équations d'après la raéthorle de Viète :
ilivisant de part et d'autre par <a — c, il vient
ia + 6e = a* 4- ae + eS ce qui donne ia constitution des équations corrélatives.
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ru9, 150] MAXIMA ET MINIMA.
Pour trouver le maximum, faisons e — a; il vient
le problème esf. résolu.
Toutefois, comme pratiquement les divisions par un binôme sont généralement compliquées et trop pénibles, il est préférable, en comparant les équations corrélatives, de mettre en évidence les différences des racines, pour n'avoir à opérer qu'une simple division par celle différence.
Soit à chercher le maximum de b'^a — a". D'après les règles de la méthode précitée, on devrait prendre pour équation corrélative b^e — e'. Mais puisque e, aussi bien que a, est une inconnue, rien ne nous empêche de la désigner par a-h e; on aura de la sorte
11 est clair que, ai l'on supprime les termes semblables, tous ce qui resteront seront affectés de l'inconnue e; ceux en a seul trouvent en effet les mêmes de part et d'autre. On a ainsi
et, en divisant tous les termes par e,
ce qui donne la constitution des deux équations corrélatives sous cette forme.
Pour trouver le maximum, il s'agit d'égaler les racines des deux équations, alin de satisfaire aux règles de la première méthode, dont notre nouveau procédé tire sa raison et sa façon d'opérer.
Ainsi il faut égaler a à a h- e, d'où e = o. Mais, d'après la constitution que nous avons trouvée pour les équations corrélatives.
nous devons donc supprimer, dans celle égalité, tous les termes affec-
134 ŒIJVIÎKS DE FKIÎMAT. [161,152]
fés de e, comme se réduisant à o; il restera b' = 'ià^, équation qui donnera le maximum cherché pour le produit dont il s'agit.
Pour montrer plus complètement la généralité do cette double méthode, considérons de nouveaux genres d'équations corrélatives dont Viète n'a pas traité et que nous emprunterons au Livre de la Section déterminée d'Apollonius (dans Pappus, Livre YIÏ, prop. 61), dont les conditions de limites sont expressément reconnues comme difliciles jiar Pappus.
Soit la droite liDEl'' (/'g'- 97)) *'"" laquelle on donne les points H, D, K, F. Trouver entre les points D eï E un point N tel que le rapport des produits BN x NF et DN x NE soit, minimum.
V'iR- 97-
Posons DE==/^ DFr=;, BD = (/, DN =«; il Finit que le rappori
d: — da-\- :a — a^ . , . . - — . — ^^y-i soit minimum.
Le rapport corrélatif semblable et égal est " ^ ,--^~'^" -"^ , d'après
notre première méthode. Egalons les produits des termes moyens et des extrêmes, nous aurons
d:be — d:e- — dabe -i- due--\- zabe — zae" — a"- de -+- <t- c''- ■z=.dzba — d:à^ — deba -h dea^-h zeùa — :ea- — e-Oa -h e-a^.
Supprimant les termes semblables et Taisant les transpositions convenables :
dzba— dzhe + dear ■ — dae'' — zeor--]- zae--^ a^ be — i:-ba r- d^a^ — dze'^.
Divisant de part et d'autre par a — e (ce qui sera très facile, si l'on
:=^s&, etde
dea^ — daé^ , ■ ■ 1 . ■ ■ 1 1 ■ 1 .
; - ^ = dae, etc. ; il est aise de disposer les termes corrc-
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