MAXIMA ET MINIMA
Nous aurons donc a -h \lba — à'-= o\ donc u — a t=:- \[ha — a-, et en élevant au carré :
~o° + a^—iôa — ba-a^.
Cela fait, il faut effectuer une transposition do façon qu'un uienibrc de l'équation soit formé par le seul terme où o figure à la plus haute puissance; on pourra di^s lors déterminer le maximum, ce qui est le but de l'artiliee. Cette transposition nous donne
Mais par hypothèse o est la quantité maxima; donc o , carré d'une quantité maxima, sera lui-même un maximum; par conséquent, ba — 20;^ —10a (expression égale 'no ) sera un maximum, 11 n'y figure d'ailleurs aucun radical; traitons-la, d'après la méthode, comme si o
était une quantité connue. Nous aurons Vadégalité
Supprimons les termes communs, et divisons les autres par e..
Supprimons ie d'après la règle; nous aurons
/j + 30 — 4ff, tl"o(i !\a — b—.'>.o ULL '>.a — \h^^<j.
Cette égalité étant établie par la méthode, il faut revenir à la première, dans laquelle nous avons posé a ■+■ \jba — a- — o. Mais nous venons de trouver o ^= ia — -,h; donc
■2a — {b = a+ sjba - a\ d'où « — \ b -- sjbâ - a'-.
Klevons au carré :
c'' -\- l h'- - ba ^^ ba -■- a', d'où enfin
ba -«'— iôî;
de cette dernière équation on tirera la valeur de a correspondant au maximum cherché.
Fermât. — III. 18
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!38 ŒLVRES DE FERMAT. [156, ir,-|
Nous pouvons employer le même artifice pour trouver /e cône; rfe .««/■-
face maxima quipeul être inscrit dans une sphère donnée.
Soient AD (Jig. 99) le diamètre de cette sphère, AC la hauteur du
cône cherché, AB son côté, BG son rayon de base. Il faudra, d'après
Archimède, que la somme AB x BC -H BC- soit maxima.
Soit b le diamètre; posons AC -- (f. Nous aurons AB = \lha.
AI! X RC H- BC- = si^'SÛF'-- IJ^ + ha - aK Égalons cotte somme à l'aire maxima, soit o : o -\- a' — ba --~ V b'ti'' — ùa'.
Elevons au carré, etc. ; la méthode que nous avons indiquée conduira h une équation donnant 0 , et permettant ainsi de résoudre celle que nous venons de poser.
Cependant, dans l'exemple choisi, on peut obtenir la solution sans prendre une troisième inconnue ; car on peut ramener le problème à chercher, en se donnant la droite AB dans le triangle CBA,
CR X RA -h CR^
et, dans ce cas, 1
quel est le maximum du rapport ~ ^tït"
méthode ordinaire est suffisante.
Soit /' la droite donnée AB ; posons CB---a, nous aurons
AC- ---- h'^ ■- a^. Mais ,~ = -.-,-,-.■; donc AD" = -,-, -,■ Or nous voulons
AR^ At)' b' - a'
que le rapport de ba -h «^ à cette dernière expression soit maximum. Multiplions haut et bas par b'^ — a- ; le rapport .^ , hi ■! (. >:~'i doit être minimum. Mais 6' est donné, comme puissance de la donnée b; donc la quantité b^n -\- b^a'- — ha^ — a' doit être maxima.
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I15TI MAXIMA ET MINiMA. 139
La méthode conduira à l'équation
b^ -i- .ib-a—- Zba- -\- 4"'*.
dont if! degré s'abaisse immédiatement (' ) : 4rt-- ba — - /'";
la solution est dès lors évidente.
Nous ne nous arrêtons pas davantage sur un sujet désormais éciairci ; on voit comment, en recourant à une troisième ou à une quatrième inconnue, et, s'il le faut, en multipliant encore le nombre des positions auxiliaires, on peut se débarrasser des radicaux cl di' tous les autres obstacles qui peuvent arrêter l'analyste.
Cependant, et quoique l'invention des tangentes découle elle-même de la méthode générale, on peut remarquer que, dans certains cas, les questions de maximum ou minimum peuvent se résoudre plus élégamment et peut-être plus géométriquement, au moyen do la construction d'une tangente.
Donnons-en un seul cscmple, qui peut valoir pour plusieurs :
Dans un demi-cercle FBD (^fig- loo), on mène, la perpendiculaire BE; im demande le maximum du produit FE x EB,
Si, d'aprcs notre méthode, on cherche h construire le rectangle FE X EB en s'en donnant la valeur, la question se ramène à décrire une hyperbole ayant pour asymptotes AF, FC, et pour laquelle les produits des abscisses FE^arlesordonnéesEiï aient la valeur donnée;
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110 ŒUVHES DE FERMAT. [158,1591
[es points d'ititcrsccUon de l'hyperholo et du dcini-corclt! satisferont à ia question. Mais, comme le produit FE x EB doit être maxintiim, il s'agit en fait de construire une hyperbole qui ait pour asymptotes AF, FC et qui, au lieu de couper le demi-cercle, lui soit tangente, soit en B; car les points de contact déterminent les quantités maxima ou minima.
Supposons le prolilème résolu : si l'hyperiiole touche le demi-eerele en B, la tangente en B au demi-cercle sera également tangente ii l'hyperbole. Soit ABC cette droite. Elle est tangente à l'hyperbole en B et rencontre les asymptotes en A et C ; donc, d'après Apollonius, AB = BC; par suite, FE — EC et AF = 2BE = 2AN. Mais, comme tangente au cercle, BA = AF; donc BA — 2AN, et h cause de la similitude des triangles, si M est le centre, IIB ~ 3ME. Mais le rayon ilB est donné ; donc le point E le sera.
On peut de même ramener en général toute recherche de maximum ou de minimum à la construction géométrique d'une tangente; mais cela ne diminue en rien l'importance de la méthode générale, puisque la construction des tangentes en dépend, aussi bien que la détermination des maxima et des minima.
SUR LA Mîm MÉTHODE.
T,a théorie des tangentes est une suite Je la méthode, dès longtemps publiée pour l'invention du maximum et du minimum, qui permet de résoudre très aisément toutes les questions de limitation, et notamment ces fameux problèmes dont les conditions-limites sont indiquées comme difficiles par Pappus (Livre VH, préf.).
Les lignes courbes dont nous cherchons les tangentes ont leurs propriétés spécifjfjues exprimables, soit par des lignes droites seulement,
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