IGO] MAXIMA ET MI^'1MA

soit encore par des courbes compliquées comme on voudra avec des droites ou d'autres courbes.

Nous avons déjà satisfait au premier cas par notre règle, qui, trop concise, a pu paraître difficile, mais cependant a été reconnue légitime.

Nous considérons en fait dans le plan d'une courbe quelconque deux droites données de position, dont on peut appeler l'une diamètre, l'autre ordonnée. Nous supposons la tangente déjà trouvée en un point donné sur la courbe, et nous considérons par adégalité la propriété spécifique de la courbe, non plus sur la courbe même, mais sur la tangente à trouver. En éliminant, suivant notre théorie des maximaetminima, les termes qui doivent l'être, nous arrivons h une égalité qui détermine le point de rencontre de la tangente avec le diamètre, par suite la tangente elle-même.

Aux nombreux exemples que j'ai déjà donnés, j'ajouterai celui de la tangente à la cissoïde, inventée, dit-on, par Dioclès,

Soient un cercle dont les deux diamètres AG, BI {fig. iot) se coupent normalement, et la cissoïde IHti, à laquelle, par un quelconque de SCS points, soit H, il faut mener la tangente.

Supposons le problème résolu, et F l'intersection de CG et de la tangente HF. Posons DF = «, et, en prenant un point K quelconque entre D et F, DE =. e.

D'après la propriété spécifique de la cissoi<le ;

" ï)ir

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NE m E(i "^ EO ' portion de la droite EN interceptée entre E et la tangente.

Soient la donnée AD -- s, la donnée DG ~= n, la donnée DH — r, et, comme nous l'avons dit, l'inconnue DF - a, l'arbitraire DE - e. On aura

E(l = /i - i<, EO r= '--'.""Zi- , EN -- \.'Tir—l^^fw - e' .

D'après la règle, il faut considérer la propriété spécifique, non pas sur la courbe, mais sur la tangente, et poser donc ^, -- pjî^ EO étant l'ordonnée île la tangente, ou, en notations analytiques.

r;arrant, pour se débarrasser du radical :

Multipliant tous les termes par a-, et adégalant, d'après la régie, le produit des extrêmes au carré du moyen, supprimant les termes superflus, conformément à la méthode, on aura enfin

D'où la construction suivante de la tangente : Prolongez le rayon CA du cercle donné jusqu'en V et prenez AV -- AC. Divisez Al) x DG par VD, soit DF le quotient; joignez FH; vous aurez la tangente à la cissoïde.

Indiquons aussi la façon de procéder pour la conclwïde de Nicomi'di:, mais indiquons-la seulement pour ne pas être trop long.

Soit la conchoïde de Nicomède construite sur la figure ci-contre {Jig. 102), comme elle l'est dans Pappus et dans Eutocius : I est le pôle, KG l'asymptote à la courbe, IHE la perpendiculaire à l'asym-

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[IGi, 165] MAXÏMA ET MiNlMA. U3

pLote, N un point donné sur la courbe, par lequel il faut mener une tangente NBA rencontrant lE en A.

Supposons le problème résolu, comme ci-dessus. Menons NC parallèle à KG. D'après la propriété spécifique de la courbe, LN — HE. Prenons un point quelconque, soit D, entre C et E, et menons par ce point, parallèlement à CN, DB qui rencontre la tangente en B. Comme la propriété spécifique de la courbe doit être considérée sur la tangente, joignons BI qui rencontre KG en M; on doit adégaler, d'après les régies de l'art, MB et HE; on arrivera ainsi à l'équation cherchée. Pour cela, on posera, comme ci-dessus, CA -- a, CD = e, EH = z, et on désignera de même les autres données par leurs noms. On trouvera facilement l'expression analytique de la droite MB, on Vadégalera, comme il a été dit, à la droite HE, et on résoudra la question.

Ce que j'ai dit paraît suffire pour le premier cas. Il est vrai qu'il y a une infinité d'artifices pour abréger les calculs dans la pratique ; mais on peut facilement les déduire de ce qui précède.

Pour le second cas, que jugeait difficile M. Descartes, à qui rien ne l'est, on y satisfait par une méthode très élégante et assez subtile.

Tant que les termes sont formés seulement de lignes droites, on les cherche et on les désigne d'après la règle précédente. D'ailleurs, pour éviter les radicaux, il est permis de substituer aux ordonnées des courbes, celles des tangentes trouvées d'après la méthode précédente. Enfin, ce qui est le point important, aux arcs de courbes on peut substituer les longueurs correspondantes des tangentes déjà trouvées, et

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iV* ŒUVRES DE FERMAT. [ISî, I03|

arriver à Vadégalilè, comme nous l'avons iodiqoé : on saLisfera ainsi facilement à la question.

Prenons comme exemple la courbe de M. de Roberval [cyc.k>ï'h:~\.

Soient HBIC {fig- io3) la courbe, C son sommet, CF l'axe; décrivons le demi-cercle COMF, et prenons sur la courbe un point quelconque, soit R, duquel il faut mener la tangente RB.

Menons par ce point R, perpendiculairement à CDF, la droite RMD, coupant le demi-cercle en M. La propriété spécifique de la courbe est que la droite RD est égale à la somme de l'arc de cercle CM et de l'ordonnée DM. Menons, d'après la précédente méthode, la tangente MA au cercle (le même procédé serait en effet applicable si la courbe GOM était d'une autre nature). Supposons la construction opérée, et soient l'inconnue DB = a, les droites trouvées par construction : DA = b, MA = d; les données MD = r, RD = s, l'arc de cercle donné CM — n, la droite arbitraire DE = e.

Par E menons EOVIN parallèle à la droite lîMD; on a — ^ = iiji^.T^, d'où N1V0E = ^^— ■

Il faut donc adégaler (à cause de la propriété spécifique de la courbe qui est à considérer sur la tangente) cette droite — - — à la somme OE + arcCO.

Mais arcCO =:arcCM — arcMO. Donc '"~'^. ooOE + arcCM - arcMO.

Pour obtenir l'expression analytique des trois derniers termes, tout eu évitant les radicaux, on peut, d'après la remarque précédente, sub-

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|1M, !(i5] MAXIMA I;T MI\IM\. l'iS

b^lituei-, à OE, l'ordonnée EV de la tangente, l't ii TaiT MO, ia|Hi)iioii tli tangente MV qui lai est adjacente.

Poni" trouver l'expression analytique de E\", un ;i d'ail le iir?

I> '■ ,- . r.,r rb — re

,~^. = g^,douE\ = — ^— .

Pour colle de MY, ii cause des triangles senildaiiles, cotiinii' ei-des

^ns, 7 = HT--' d ou .\l\ = -.-•

i'iniin on a |)osé iUTCM = /2. On aura doue analyliquenienl

Sialli|iliiiiit, de part et d'autee. |nir ab :

zlia — ; lie oo rba — rae -!- bna — dne.

Jlais, d'après la propriété de la courbe, ==/■+«, donc zha~-iba^ hna. SupiJi'imaiit les termes communs.

Divisons par e; coiiiiiic il ne reste ici aucun leriiii' sU[)erllu, M n'y a pas d'autiT sup[)ressio]i à t'airi' :

l^our la construction, ou fiu-a ilnuc —-;(-.-- = v,ti\ '"> ,|omdr;i liR

i|iii tourlicra la courbe CR.