M\ + MD M
iMajs comme — rr^ = -.ttti anisi qu il est lacile de le démontrer,
, „ . MD lil> , , ,. ., , ,,
oii peut taire -ï-tt = -rr^^ ou, pour que la construction soit plus élégante, joindre MC et lui mener RB parallèle.
La mémo méthode donnera les tangentes à toutes les courbes de eetle espèce. Nous avons indiqué il y a longtemps leur construction générale.
(^omme il a été proposé de Ir^iuver la inngeitie de la quadralairc <»i ijuadratrice de Dinostrale, voici cojitmeni nous la construisons d"a|)i'ès la méthode précédente.
l'EnutT. — m. 19
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H6 ŒUVTÎES DE FERMAT. [I6â, 166]
Soient AIB (fig. io4) un quart de cercle, AMC la quaJralaire, à laquelle il faut mener la tangente en un point donné M. Je joins M! ; de I comme centre, avec IM comme rayon, je décris le quart de cercle
MN a PC M D ZMD, et, menant la perpendiculaire WN, je fais -jvi- = — ^^ — Je joins
MO qui sera tangente à la (juadratairc; que cela suffise.
(Cependant il arrive souvent qiie la courbui'c change, comme dans la conchoïde de Nicomède (i*'' cas) et dans toutes les espèces, sauf la première, de la courbe de M. de Roberval (2'' cas); pour pouvoir bien dessiner la courbe, il convient donc de rechercher mathématiquement les points d'inflexion, où la courbure devient concave de convexe, ou inversement. Cette question se résout élégamment par la méthode de maximis et minimis, grâce au iemme général suivant :
Soit ta courbe AHFG i^fig- 1 o5) dont la courbure change par exempte au point H. Mené:: la tangente HB, l'ordonnée HC ; l'angle HBC sera le minimum entre tous ceux que la tangente fait avec l'axe ACD, qu'elle soit au-dessous ou au-dessus du point H, comme il est facile de le dcmojitrei'.
Qu'on prenne en effet, au-dessus du point H, un point M; la tangente en ce point rencontrera l'axe entre A et B, soit en N; l'angle en N sera donc plus grand que l'angle en B.
Do même, si l'on prend le point F au-dessous de U, le point D, oii la langente FI) rencontre l'axe, sera au-dessous de B, cl ia langenle DF
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|lG(i, IG7[ MAXIMA ET MIMMA. U7
rencontrera d'ailleurs la tangente BH Jn coLé de FH; l'anifle en I) sera donc plus grand que l'angle en B.
Nous ne poursuivons pas tous les cas, nous indiquons s(Mileuion( le mode de recherche, les formes des courbes variant indérmimenl.
Pour donc trouver, par exemple, le point H sur la figure, on cherchera d'abord, d'après la méthode précédente, la propriété de la tangente en un point quelconque de la courbe. Puis, par la doctrine de maximis et minimis, on déterminera le point H tel qu'en menant la
perpendiculaire HC et la tangente HB, le rapport ^^ soit ininimuiii. CiHr ainwi l'angle en B sera minimum. Je dis que le point H ainsi (roiivé sera celui où commence le changement de courbure.
La mémo méthode de maximis et minimis donne aussi, par un artifice singulier, l'invention du centre de gravité, comme je l'ai indiqué autrefois à SI. deRoberval.
Mais, comme couronnement, on peut encore trouver les asymptotes d'une courbe donnée, recherche qui conduit à de remarquables propriétés pour les courbes indéfinies. Nous pourrons un jour les développer et les démontrer plus au long.
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ŒtIVRKS DE l'ElîMAT.
PROBLÈME lîNVÛYÉ AU U. i». MERSRNNK
Trouver le cylindre de surface maxuna inscrit dans une sphère donnée.
Soit donnée une sphère de diamètre AD {fig. io6), do i^ctitre 11. On demande d'v inscrire te cylindre de surface maxtma.
Siipjtosùiis le |)roblème résolu; siiieuL Dl*^ lo diamètre do i)asi' tin iiyliudrc, KA sou côté (on peut en elFet donner coite position au cylindre, l'angle inscrit dans le demi-cercle étant droit). La surface du cylindre est proportionnelle à Dfi*+ 2Dli;.EA : il faut donc chercher le maximum de la somme DE- -h 2 Dli, l'IA.
Si l'on abaisse la perpendiculaire lïB, on a,d'unopar[.lHil-==An.l)li; de l'autre, DE.KA = AD.BE. Nous avons donc à chercher le maximum de la somme AD.Dlf -1- aAD.BE, ou, en divisant les deux termes par la droite donnée AD, le maximum de la somme DB -1- 2BE.
Cette question est facile : qu'on fasse CB = ;1^BE, ou, ce qui rcvienf au même, BC = ^1 le point E satisfera au problème. Menons eu etl'et
la tangente EF qui rencontre en Fie prolongement du diamètre; je dis que la somme DB H~ 2BË est maxima.
En effet, puisque CB = ^BE, BK^JBI-; donc BF.^2BE; dojir DF = DB + 2BE; il est clair ainsi que la somme DT( 4- 2BK ost
maxima.
Prenons en eiîel on point quidconque, soit 1, sur le (lenii-cerrle. cl abaissons la pecpeiidiculaire LN; par ie même point I, menons Kl pai'al-
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Ii(is.i70] MWMiv r:T minuia. i.w
It'lo à la tangente et rcncond'ant \c liianii'frc imi G. Ci; point (i tomhcfa entre les points F et D, autrement là parallèle GI ne rencontrerait pas le (lemi-ccrelc. En raison dn parallélisme, on a ^jt^ = ■^; mais PB = 2BE; donc GN = 2NI et, par suite, GD = DN-h2Nl. Mais comme GD(= DN -H 2NI) est inférieure à DF(= Dli -h 2BE), ii s'ensuit que DB + 2BE est un maximum et riue le eviiiLiIre ciien^lié aur;i [>our base DE et pour côte VA.
On prouvera, d'après ce qui précède, que le rapport ~ est celui dn plus grand au plus petit segment d'une droite divisée eu moyenne et extrême raison.
Nous pouvons {railleui's par le même |)rocédé Iraiwcr cl conslniirc lai cylindre de sur/ace donnée.
On ramènera en effetla question à l'égalité entre la soLome DN h- 2.\i et une droite donnée, soit DG, qui, d'après la valeur trouvée pouf If maximum, devra être au plus égale si DF. Menez GI parallèle à ¥E; le point I satisfera à la question et l'on pourra ainsi avoir tantôt <ieux cvlindres, tantôt un seul répondant à la condition posée.
Si, en effet, le point G tomlie entre F et A, deux cylindres différenis satisferont au problème; mais si G tombe en A on pins près de D, la solution sera unique.
Vil T.
ANALYSI-: POUR LES Rr-FKACTIONS.
Soit ACHi {fig. loH) un cercU^ dont le diamètre AFDB sépare deux milieux de nature différente, le inoins dense étant du côté ACB, le plus dense du côté AIB.
Soient D le centre du cercle et CD le rayon incident tomlianl sui' ic centre du point C donné; on demande le rayon réfracté Ul, ou aud'ement le ])oint I [lar où passera le rayon après la réfraction.
.\liaissez sur le diamètre les perpendiculaires CF, 111, \a' poînl C
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150 ŒUVliES DE l'EKM-VT. [ITO, 172]
l'taiit donné ainsi que le diamètro AB et le centre D, le point F et la droite FD seront également donnés. Supposons que le rapport de la résistance du milieu plus dense à celle du milieu moins dense soit neluj de la droite donnée DF à une autre droite m. donnée en dehors de la figure. On devra avoir m<DF, la résistance du milieu moins dense devant être inféi'iouro à celle du milieu plus dense, par un axiome plus que naturel.
Nous avons maintenant h mesurer, au moyen des droites m et DF, les mouvements suivant les droites CD et DI; nous pourrons ainsi représenter comparativement l'ensemble du mouvement sur ces deux droites par la somme de deux produits ; CD . m + D! . DF.
Ainsi la question est ramenée à partager le diamètre AB en un point H de telle sorte que si en ce point on élève la perpendiculaire HI, puis qu'on joigne Dl, l'aire CD.m + DI.DF soit minima.
Nous emploierons ii cet effet notre méthode, déjà répandue parmi les géomètres et exposée depuis environ vingt ans par Hérigone dans son Cursus mathematicus. Appelons n le rayon CD ou son égal DI, b la droite DF, et posons DH = a. Il faut que la quantité nm + nh soit niininia.
Soit, pour riucounue e, nue droite arbitraire Dû; joignons CO, 01. lîn notations analytiques : (]()- = Ji^+e''~ nbe, et 01'-^ = n- + e'-\-iae; donc
La somme de ces deux radicaux doit être adégalée, d'après les règles de l'art, à hi somme mn + hii.
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ira, 173] MAXIMA l'T MIMMA. 131
Pour faire disparaître les radicaux, on élèvera au carré, on supprimera les termes communs et l'on transposera de façon à ne laisser dans un des membres que le radical qui subsistera; puis on élèvera de nouveau au carré; après nouveau retranchement des termes communs de part et d'autre, division de tous les termes par e et suppression de ceux où e entrera encore, selon les règles de notre méthode généralement connue depuis longtemps, on arrivera, en ôtant les facteurs communs, à l'équation la plus simple possible entre a et m, c'eslà-dire qu'après avoir fait disparaître les obstacles opposés par les radicaux, on trouvera que la droite DU de fa iigure est égale à la droite m.
Par conséquent, pour trouver le point de réfraction, il faut, ayant mené les droites CD et GF, prendre les droites DF et DH dans le rapport de la résistance du milieu plus dense à celle du milieu moins dense, soit dans le rapport de 6 à m. On élèvera ensuite en H la perpendiculaire HI au diamètre; elle rencontrera le cercle en l, point où passera le rayon réfracté; et ainsi d'ailleurs le rayon, passant d'un milieu moins dense dans un plus dense, s'infléchira du côté de la perpendiculaire : ce qui concorde absolument et sans exception avec le théorème découvert par Descartes; l'analyse ci-dessus, dérivée de notre principe, donne donc de ce théorème une démonslration rigdurcusement exacte.
SYNTHESE POIR LES REFRACTIONS.
Le savant Descartes a proposé pour les réfractions une loi qui est, comme on dit, conforme à l'expérience; mais, pour la démontrer, il a du s'appuyer sur un postulat absolument indispensable ii ses raisonnements, à savoir que le mouvement de la lumière se ferait plus facilement et plus vite dans les milieux denses que dans les rares; or ce postulat semble contraire à la lumière naturelle.
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!■):> QÎUVHKS DE FEUM\T. |1T3. !7'j|
Kn cliei'cliaol, pour établir la véritable Uu des rél'ractioiiy, à partir ilii principe contraire, -~ ;i wiivitj]' (|ue le mouvement de la lumière se l'ait plus facilement et plus vile dans Ii^s milieux rares que dans les denses, — nous sommes retombés précisément sur la loi que Descartes a énoncée. Est-il possible d'arriver sans paralogisme à une même vérité par deux voies absolument opposées, c'est une question que nous laissons à examiner aux géomètres assez subtils pour la résoudre ri'goureusemcnt; car, sans entrer dans de vaines discussions, la possession assurée do la vérité nous suffit et nous l'estimons préférable à une plus longue continuation de querelles inutiles et illusoires.
Notre démonstration s'appuie sur ce seul postulat que la jiatui'e opère par les moyens et les voies les plus faciles et les plus aisées. (Ilar c'est ainsi que nous croyons qu'il doit être énoncé et non pas comme on le fait d'ordinaire en disant que la naturi' opère tonjours parles lignes les plus courtes.
Bn ell'et, de même qu'en spéculant sur les mouvements naturels des graves, Galilée en mesure les rapports aussi bien par le temps que par l'espace, de même nous no considérerons pas les espaces ou les lignes les plus courtes, mais celles qui peuvent être parcourues le plus facilement, le plus commodément et dans le temps le plus court.
t:ela supposé, soient deux milieux de nature dllférente (/ig. 109)
séparés par le iliainètreANB (lu cereleAIllJAI. le milieu le moins ileiise étant du coté de M, le |)lus dense du eùté de II; menons de M vers II
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