MAXIM/V ET MINIMA

les lignes quelconques MNH, MRH, brisées sur le diamètre aux points

Net H.

La vitesse ilu mobile sur MN dans le milieu rare étant plus grande.

d'après l'axiome ou le postulat, que la vitesse du même mobile surNH,

et les mouvements étant supposés uniformes dans chacun des deux

milieux, le rapport du temps du mouvement sur MN au temps du

mouvement sur NH sera, comme on sait, le produit du rapport de MN

à NH et du rapport inverse des vitesses sur NH et sur MN. Soit donir

. vitesse sur MN MN temps sur MN IN

pose -7-— — ■ ,-„ = ^fj-, on aura ; - ■ ■ ifû ~ ^ni-

' vitesse sur NH NI temps sur NH NH

On prouvera de même que si le rapport de la vitesse dans le milieu

. , .^ j 1 ■(■ I .MR tempssiirMIi PIS

rare a la vitesse dans le milieu dense estiTTi-' on aura ■■ ■■ — 77:.- — .rr,-

liP lempssur lill Uii

f.- . -1 -, temps sur MNH IN + NH

D ou il su t que £- ^rrrrr, = ar, trrf ■

^ temps sur MKH PH -h H.ti

Or, puisque c'est la nature qui dirige la lumière du point M vers le point H, nous devons chercher un point, soitN, par lequel la lumière, en s'infléchissant ou se réfractant, parviendra dans le temps le plus court du point M au point H; car on doit admettre que la nature, qui mène le plus vite possible ses opérations, visera d'elle-même ce point-là. Si donc la somme IN -!- NH, qui mesure le temps du mouvement sur la ligne brisée MNH, est une quantité minima, nous aurons atteint notre but.

L'énoncé du théorème de Descartes donne ce minimum, comme nous allons aussitôt le prouver par un véritable raisonnement géométrique et sans aucune ambiguïté. Voici en effet cet énoncé :

Si du point M on mène le rayon MN, que du même point M on abaisse la perpendiculaire MD, puis que l'on prenne ^i- dans le rapport de la plus grande vitesse à la moindre, qu'enfin on élève en S la perpendiculaire SH et que l'on mène le rayon NH, la lumière incidente au point N dans le milieu rare se réfractera dans le milieu dense du coté de la perpendiculaire vers le point H.

C'est ce théorème qui est en accord avec notre Géométrie, commi; il résulte de la proposition suivante purement géométrique.

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154 ŒUVRES DE FERMAT. [i7ô, nfi]

Soit le cercle AHBM, dont ANB est un diamètre et N le centre; sur la circonférence de ce cercle je prends un point M quelconque, je mène le rayon MN et j'abaisse sur le diamètre la perpendiculaire MD. Soit donné d'autre part le rapport sje-! en supposant DN > NS; en S j'élève au diamètre la perpendiculaire SH qui rencontre la circonférence au point H; je joins ce point au centre par le rayon HN. Posons ï^- — ^iiTT-; je dis que la somme IN 4-NH est rainima; c'cst-ii-dire que si l'on prend un autre point quelconque, R par exemple, sur le rayon NB, que l'on joigne MR. RH et que l'on fasse ^^ — ^p-î on aura

PR+RH>INh-NH.

„ , ,. , r. ■ MX liN . ItN NO ,, , , .

Four le démontrer, taisons -.y^ = vn=j et.j^ = i.^^- Il est clair que,

par construction, puisque DN est plus petit que le rayon MN, on aura

NO <NR; de même, puisque NS<ND, on anraNV<NO.

Cela posé, on a, d'après Euclide : MR- = MN- + NR- -t- aDN.NR ;

mais puisque, par construction, "ïTiû = sjô' on a MN.NO = DN.NR;

donc2MN.NO= aDN.NR; donc MR- = MN" + NR--f- sMN.NO. Mais, puisque NR> NO. NR-> NO- ; donc

MI{^>MN5-HN0^+[iMN.NO.

Mais la somme JIN- + N0-+ 2MN.NO ^ (MN + NO)-. Donc