I- I -. r. . ■ AA. I I-.- lîC^— Cl>^ 4AC
mulecommeii suit.LonstruisezAM pourlacondition — j^ — = Tiff' prenez A comme sommet d'une parabole ayant AM pour paramètre et AC pour axe; soit G le point de rencontre de cette parabole et du prolongement de la droite BDC, H lo point de rencontre avec le prolongement do la droite FEO. Le rapport de la courbe parabolique AG à I;)
courbe AD sera donné; on aura en effet -rfa = vtriZl ctï^' "^''^ ''^PP'Ji'f des arcs AH et AE sera le même.
Si l'on fait tourner les figures : ACG autour de l'ordonnée CG, ADt; autour de la droite DC, le rapport des surfaces courbes engendrées sera égal au rapport des courbes AG et AD. Il en sera de même pour
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les parties de figure AOH, AEO, si on les fait tourner autour <les droites OH, OE.
Pour l'autre figure (Jig. 1 16), dans laquelle la courbe AD est exlériflurc a la cycloïde AB, je fais '^'^'~,*^'^' == ~, et je prends la longueur AM sur la même direction que AC; sur cette droite AM, je
décris un demi-cercle qui sera coupé aux |)oints G et U par les droites
DEC, EFO. On aura ( ,,,^„ ) = (— ^i:;:^^-) = mpT^T^' ^'^'P" ])ort donné.
Soit la parabole AC (Jig. 117), de sommet A, d'axe AB, d'ordonnée GB; de la courbe parabolique CA j'en déduis d'autres en
nombre indéfini (]D, CM, CF, par la même méthode que précédemment (Jig. 1 14), sauf que cette fois je les fais toutes passer par l'extrémité de la même ordonnée, au lieu de les faire toutes passer par le sommet.
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|205,5OG] PROPOSITIONS A LALOUVÈRH:. 177
La propriété de ces nouvelles courbes sera donc quR, si l'on mène GHIOM parallèle h l'axe AB, la droite BD interceptée en D par la courbe CID du second degré sera égale à l'arc de parabole AC, et la droite GI égale ;i l'arc de parabole CH; la droite BE interceptée en E par la courbe du troisième degré sera égale à l'are DIC du second degré et ainsi de suite indéfiniment pour les courbes et leurs arcs.
Je dis que toutes ces courbes CD, EC, FC, etc. sont égales à des arcs de paraboles primitives ou simples, qui seront toutefois différentes de celles qui ont été précédemment égalées aux courbes dérivées. Voici le théorème général :
Je construis la parabole HP, ayant pour axe RQ = AB l'axe de la première parabole, et pour paramètre RV, double du paramètre AN. Je dis que l'arc RP de cette parabole est égal Ji la courbe CID.
Si, avec RQ = AB pour axe, on prend le paramètre ].{V= 3AN, l'arc parabolique RP sera égal à la courbe COE.
Si, toujours avec RQ = AB pour axe, on prend le paramètre RV^/iAN, l'arc parabolique RP sera égal à la courbe CMF.
Si, autour des droites AB, BD, Bl'], Bb', on l'ait tourner les figures ACB, DCB, EGB, FCB, etc., on peut construire un cercle équivalent à chacune des surfaces courbes des solides ainsi engendrés, avec autant de facilité que l'on peut construire un cercle représentant la surface courbe du conoïde parabolique engendré par la rotation de la parabole AB autour de l'axe AB. Je n'ajouterais pas cette dernière construction que j'apprends avoir déjà été trouvée (sans avoir cependant connaissance de ce qui a été écrit par d'autres sur 'ce sujet), si le procédé n'était pas général et ne s'étendait pas très aisément à tous les conoïdes engendrés autour des axes BD, BE, BF par ces nouvelles courbes en nombre indéfini.
Si l'on fait tourner {fig. ] 17) la courbe CD autour de la droite liD, voici comment on trouvera la surface courbe du solide engendré :
Construisez, d'après la méthode ci-dessus, la courbe parabolique RP
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'. (MD, et faites toiinior celte [tarabolo RP autour i!e la
droite RQ. On aura
surf, conoïde RPQ siu'T, coiioïdeDlCR
■apport des ordoniiéi
Si J'iiii construit de même la parabole RP égale à la courbe COE, im
siii-f. conoïde RPQ P Q siirf.couoïtleEOCR — OR''
et ainsi de suite indéiininioiil.
Soit inainlciiant (/ig. i r8) la parabole FBAD d'axe liA, d'ordonnée FE. Oii demande la mesure de la surface courbe du solide onyendré par la rolafion de la fisure ARFE autour de l'axe AE.
Pi'eni^:( At^ égal au quarldu paramiître; construis!;/ l'ordonnée (ïli; l»rene/, EH = A(j, et construisez l'ordonnée GH, puis le carré équivalent il CBGH. ce qui est facile d'après Archiraède. La diagonale de ce carré équivalent à CBGft sera le rayon du cercle équivalent à la surface courbe du conoide FAD engendré autour de i'axe AE.
Le subtil géomètre qui a récemment démontré l'égalité de la spirale à la parabole aurait pu concevoir lo théorème plus généralement et établir une comparaison entre un nombre îndéiini de spirales et de paraboles d'espèces différentes, grâce à la proposition suivante qui l)eut être énoncée de façon à servir d'exemple général :
Soit sur la^^. 38 du Livre do Dettonvillc {/îg. 119), une spirale d'espèce quelconque, c'est-à-dire telle que le rapport d'une puissance quelconque du rayon AB à la inème puissance du ravou AC soit égal
(îin, Î081 PROPOSITIONS A LA I.OU VKtiK.
au rapport d'une putssam;e quelconque de la l'ii'c liESB il la puissance semblable cle l'arc K81t.
('onstruiscK hi parabole clotU la demi-base ou la dernière ordonnée RP soit égale au rayon AB, et dont l'axe AR soit égal à une fraction de la circonférence totale BE8B, fraction ayant pour numérateur l'expowant de la puissance du rayon AB, et pour dénominateur la somme des exposants de la puissance du rayon AB et de la puissance de la circonférence BE8B; qu'enfin les puissances des ordonnées de la parabole, ayant pour exposant la somme de ceux des puissances du ravon AB et de la circonférence BE8B, soient entre elles dans le même rapport que les puissances des abscisses dont l'exposant est celui de la circonférence BE8B. Je dis que la spirale et la parabole ainsi construites seront toujours égales entre elles dans tous les cas.
Par exemple, soit d'abord la spirale d'Archimède e( la [lai-dMilc circ.BESB
simple :
Construisez la parabole AQP ayant pour
dernière ordonnée BP=AB, et pour axe AR une fraction de la circonférence BE8B, ayant pour numérateur l'exposant de la puissance du rayon AB (ici i) et pour dénominateur la somme des exposants des puissances du rayon et de l'arc (ici 2; car dans ce cas l'exposant de la puissance de l'arc est i). Ainsi l'axe AR devra être ~ de la circonférence constitutive de la spirale, et dans la parabole, une puissance de l'ordonnée RP ayant pour exposant la somme de ceux des puissances du rayon et de l'arc (ici 2) doit être à la puissance semblable de l'or'donnéc 6Q comme une puissance de l'abscisse AR avant poiii' cx|ki-
saiil, celui cIr la circonférence BESB (ici i) est à la puissance somblalile de l'abscisse A6, c'est-à-dire que l'on doit avoir : (^7^) = yr- La courbe parabolique PQA et la spirale BCDA seront égales.
Supposons maintenant : j^ = — ?■' ■• Dans ce cas l'exposant
de la puissance du rayon AB est 2, celui de la puissance de la circonférence est I. La parabole se construira suivant la règle ci-dessus : l'ordonnée RP sera prise égale au rayon AB, l'axe AR = f cire. BE8B, enfin ( gQ-j ~ -^- Cette parabole et la spirale correspondante seront égales.
c -. AB cire. HE8B ,, , 1 1 i> 1 . mi
soit encore : -.-yr = ^ ■ Dans la narabole, 1 ordonnée RP
^^' arcESB
sera prise égale au rayon AB, l'axe AR = ;J cire. BE8B, et enfin
f g-7j] = (fiT) • " y auïR toujours égalité entre la parabole et la spi-
Soit enfin dans la spirale : -.-7=^ = -
arcESR
correspondante et égale à cette spirale, on aura, conïme toujours, l'ordonnée RP = AB, l'axe RA = f cire. BE8B, et enfin pour le rapport des ordonnées et des abscisses : [qtt) = (â\j '
La méthode sera indéfiniment la même pour comparer les spirales et les paraboles d'espèce quelconque. 11 n'y aura d'ailleurs aucune difficulté pour égaler des arcs de spirale augmentés ou diminués avec des arcs de la parabole correspondante. D'après ce qui précède, il y a à l'intérieur d'un même cercle une infinité de spirales différentes d'espèce et de longueur; bien plus, il y en a une infinité qui surpassent la circonférence du cercle, ce que l'on peut compter parmi les merveilles de la Géométrie. Cependant il n'y en a pas qui ne soit inférieure à la somme de la circonférence et du rayon, et il n'y en a pas qui ne soit plus grande que le rayon.
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[■m,m] DISSEUTATION géomkïhjque.
