DES LIGNES COURBES AVEC LES LIGNES DROITES. DISSERTATION &É0MÉT1UQLE
Jamais encore, que je sacho, une ligne courbe parement géométi'ique n'a été égalée par les géomètres à une droite donnée. Ce qu'en effet un subtil mathématicien anglais a récemment découvert et démontré, que la cycloîde primaire est quadruple du diamètre du ceivle qui l'engendre, paraît devoir se limiter, d'après l'avis des plus savants géomètres. Ils pensent en efiet que c'est une loi et un ordre de la nature qu'on ne puisse trouver une droite égale à une courbe, ii moins de supposer d'abord une autre droite égale à une autre courbe, et prenant cet exemple de la cycloîde, ils montrent qu'il en est ainsi dans ce cas. Je ne le nie pas; il est clair en effet que le tracé de la cycloîde suppose l'égalité d'une autre courbe avec une droite, à savoir celle de la circonférence du cercle générateur de la cycloîde avec la droite qui est la base de la cycloîde. Mais on va voir ci-dessous ce qu'il en est de cette loi de la nature qu'ils établissent, et combien il est dangereux sur un ou deux faits d'expérience de conclure aussitôt un axiome. Je vais en effet démontrer l'égalité à une droite d'une courbe véritablement géométrique et pour la construction de laquelle on n'a à supposer aucune égalité semblable d'une autre courbe avec une droite, et je traiterai toute la question aussi brièvement que possible.
Phopositioh I.
Soit (Jîg- 120) une courbe quelconque AHMG concave vers un même roté, par exemple une des paraboles en nombre infini, dont les tangentes
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I8â (EUVUKS DE TliUM AT. [^12,21,1]
rencontreiu en dehors de la courbe la base AF el l'axe VG. Je prends sur une courbe de celle nature un point quelconque H par lequel je mène la tangente IHK ; sur celle-ci je prends, de côté el d'autre, les points K, I , d'oiï j'abaisse IB, KD perpendiculaires sur la base AF el coupant la courbe auxpoints R, M. Je dis que le segment HI de la tangente est plus petit que l'arc de courbe RH, qu'au contraire le segment HK de la même langciite est plus grand que l'arc de courbe HM.
En etï'et, puisque, par liypothèso. l;i tangente Kl renconlre la base AF en dehors de la courbe, Fanglc CHI que fait la perpendiculaire HC il la base avec la tangente HI est plus polit qu'un droit, et par conséquent la perpendiculaire abaissée de H sur la droite BI tombera en V au-dessus des points B, R, 1. On en conclut que HV< HI et que HI est plus petit que la droite qui joint les points H, R. Donc, a fortiori, HI est plus petit que l'arc de courbe HR sous-tendu par cette droite qui joint les points H. R. Premier point qu'il fallait démontrer.
Je dis maintenant que le segment KH est plus grand que l'arc de courbe HM. Du point K je mène à la courbe la tangente KN, et j'abaisse la perpendiculaire NE. Il est prouvé, par ce qui précède, que KN<arcNM. Mais, d'aprfes Archimède, la somme des tangentes HK-f- KN>arcHN. Donc segment HK>arcHM. Second point qu'il fallait démontrer.
Il n'y a pas à objecter que la tangente menée du |)oint K peut tomber au delà du point G. Car, dans ce cas, on peut prendre un autre point entre K et M, et employer le raisonnement précédent.
Il, R[:rr de là que. si des points K, ! on abaisse sur l'axe des per|>en-
[■!13, ^>1'.] DISSEinWTION ("i l'OAIKTlUQ L" E. iS-i
(iicuiain's qui coupent la coui-be on 0, P, on aura, dans le cas de \ii iigure, HI > arc HO et HK < arc HP.
Si l'on imagine en effet la iigure retournée, en soiie ([iie l'oii [M'imiui' ['axe comme base, et la base comme axe, !a démonslraliun sera non seulement semblable, mais absolument identique.
Il isKsiii-TE enfin de la construction même que, si BC = CD, on a les segments des tangentes HI = HK. Ce qu'il est important de remarquer.
PlUIPOSETEON II.
Pour mesurer les lignes courbes, je ne me servirai pas de lignes inscrites et circonscrites à l'exemple d'Archimède, mais seulement de circonscrites formées par des segments de tangentes; je démontrerai, en effet, qu'il y a deux séries de tangentes, l'une plus grande que la courbe, l'autre plus petite, et les analystes verront que la démonsfralion par les circonscrites seules est beaucoop plus facile et pins élégante.
Je dis donc qu'il est possible, suivant l'esprit de la métliode d'Arcliimède, de circonscrire à une quelconque des courbes précitées deux figures composées de droites, et dont l'une surpasse la courbe d'une diffèrenee inférieure à un intervalle donné quelconque; dont l'autre soit au contraire plus petite que la courbe d'une différence également inférieure à un intervalle donné quelconque.
Soit {fig. i2i) une quelconque des courbes précitées : je parlage la base AG en un nombre quelconque de parties égales, AU, tîC, (M).
I)K, HP, KG; par les points B, C, D, lï, F, j'élève les perpendiculaires lîQ, CV, DZ, ER, FM, qui rencontrent la courbe aux points P, T, Y, N, 0. Je mène les tangentes AQ, PV, TZ, YR, NM, 01.
181 ŒUVRES DE FEIÎMAT. [!14, 215]
D'après la première proposition : tangente AQ^-arcAP; tangente
PV;> arcPT; etc. ; enfin tangente 01 > arc OH. Donc la tigure formée
par tous les segments des tangentes AQ, PV, TZ, YH, NM, 01 est plus
grande que la courbe.
Mais soient la même courbe {fig- 1^2) ot la liase AG divisée en
autant de parties égales aux points H, C, D, E, F. En ces points lî, C,
D, E, F, j'élève encore des perpendiculaires BR, CQ, DO, EL, FI, qui rencontrent la courbe aux points S, P, N, M, K. Au point S, je mène la tangente ST jusqu'à la rencontre avec la perpendiculaire AT; puis aux points P. N, M, K, H, les tangentes PR, NQ, MO, KL, HI, rencontrant les perpendiculaires BS, CP, DN, EM, FK aux points R, Q, 0, L, I. D'après la première proposition : tangente ST < arc AS ; tangente PR<arcPS; etc.; enfin la parallèle à la base, IH<arcKH. Donc la figure, formée par tous ces segments de tangentes ST, PH, NQ, MO, KL, HI, sera plus petite que la courbe.
Mais, d'après le corollaire de la proposition I, les segments pris sur les deux côtés des tangentes en un point de la courbe, et correspondant de part et d'autre à des segments égaux de la base, sont égaux entre eux. Par conséquent, puisque les courbes des figures 2 et 3 sont supposées égales ou plutôt comme ce n'est qu'une même courbe et que, si nous avons tracé deux figures, ce n'a été que pour éviter la confusion, on a : tangente ST (3' figure) = tangente PV (2* figure) : le point S (3* figure) étant identique àP(2^figure), et les segments AB, BG de la base étant égaux de part et d'autre dans les deux figures, les segments pris des deux côtés sur la tangente et correspondant à ces segments égaux de la base doivent en effet être égaux, c'est-à-dire que ST (3^ figure) = PV (2^ figure).
[215,210] DISSERTATION GËOMKTIIIQUR. 185
On prouvera de même que PR (S'augure) = TZ (2" figure); etc.
pour les autres segments. Il n'y aura que le premier de la 2^ figure et
le dernier de la 3* qui ne seront pas égaux à quelque segment sur
l'autre figure. Donc l'excès de la figure 2 sur la figure 3 est égal à
celui de la tangente AQ (2." figure) sur la tangente IH (3*' figure).
Mais, à cause du parallélisme, IH est égal à un segment de base, FG ou
AB, puisqu'on suppose tous ces segments égaux dans les deux figures ;
donc la 2." figure, composée de tangentes et plus grande que la courbe,
surpasse la 3« figure, composée de tangentes et plus petite que la
courbe, de l'excès de la tangente AQ sur le segment AB de la ijase qui
lui correspond (2" figure).
Si donc nous voulons circonscrire à la courbe deux figures, l'une
plus grande, l'autre plus petite, et dont la différence soit plus petite
qu'une quantité donnée quelconque, la construction sera très facile.
La tangente au point A (Jîg. 121) est donnée d'après la méthode des
tangentes déjà connue, donc l'angle QAB est donné; mais l'angle QBA
est droit; donc le triangle QAB est donné d'espèce, donc le rapport
Vî,-- H faut donc régler la division de la base en sorte que la dilFérencc Ali ° T
AQ — AB soitplus petite qu'une droite donnée quelconque; pour cela, il suffît de chercher deux droites dans le rapport donné et dont la différence soit plus petite que la droite donnée : problème facile. On prendra ensuite un segment quelconque AB de la base, avec la seule condition qu'il soit au plus égal à la plus petite des deux droites satisfaisant audit problème.
Nous aurons ainsi trouvé deux figures circonscrites à la courbe, l'une plus grande, l'autre plus petite que cette courbe, et telles que la différence de ces figures soit inférieure à un intervalle donné quelconque; a fortiori, l'excès de la plus grande des circonscrites sur la courbe et celui de la courbe sur la plus petite des circonscrites seront chacun plus petits encore.
Ofl VOIT donc que notre métbiide par double circonscription ouvre un accès facile à la méthode d'Archimède, quand i! s'agit de la mesure
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des lignes courbes. Il suffit de l'avoir dit une fois et de l'avoir démontré.
Cela posé, j'affirme hardiment qu'on peut trouver une courbe vraiment géométrique égale à une droite donnée. Cette courbe est une des paraboles en nombre infini, sur lesquelles nous avons spéculé il y a déjà longtemps; c'est celle où les cubes des ordonnées sur l'axe sont proportionnels aux carrés des abscisses de l'axe. Pour que les géomètres n'aient pas à douter de mon affirmation, voici la démonstration en peu de mots.
PnoPosFTTo?! m.
Soient {fig. I23) MI VA la parabole dont je viens de parler, A son sommet, AN son axe, I un point quelconque pris sur la courbe. Sije mène
les perpendiculaires ou ordonnées sur l'axe MN, W , j' aurai constamment. -r^ -— ..7^- Jl faut prouver que la courbe MIA est égale à une droite
Je pose j.7jg5 = j-i AD étant pris perpendiculaire à AN; il est idair que AD sera le paramètre de la dite parabole, c'est-à-dire que ADxAN^ = NM* et que, si l'on prend un autre point I, on aura encore pourle cube de l'ordonnée : ADx AF--^ IF'. Cela n'a pas besoin
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\m.m\ DISSERTATION r.ÉOMÉTlilQU i; . 187
de démonstration, et nons n'avons pas à nous arrêter ;i ee qni os) trop facile.
Je mfene la tangente au point I, soit lOE, E étant son point de rencontre avec l'axe AN. D'après la méthode des tangentes, on aura fA ~2AE, par conséquent -t-t, — -' donc -r-^^ = 2.
Je prends CD -= - AD, et le milieu B du reste CA; on aura
l)\ 9 ET' A\i ~ 4 "' ÀF- ■
Donc AD X AF- == FE'^ x AB. Mais AD x AF= := IF^ ; donc - -r-p,' ei componendo (commeEY- -hW - lE'-) :
Si je mène du point I, perpendicuiairement sur la base, la droite IH,
si je trace une autre perpendiculaire quelconque GQVO, rencontrant
l'ordonnée IF en Q, la courbe en V, et la tangente en 0. les triangles
I I Kl I . '0 lE ,. . 10^ lE^
semijlables donneront iôI^I-Tïïg] ^ IF' '' ^" HU^ = Q-'
Mais Yiwi -^ — T-n Donc m, , = — -,-,, — ■ relalion constante (me»n-
It- AU IHi- AB ' ■'
me proposais de démontrer.
Il suit de là que, si sur le prolongement de 31N on prend NX -= AB,
on a toujours riTTi ou (pour la tangente elle segment de base de l'autre
côté, qui, il cause des parallèles, donnent toujours le même rapport)
h£ "" H ^^^ ^^ ^ '^ '" ^^"^ *^* ^-"^ "' ■^^' ^'^ ^"' ^^' évident d'après la construction, puisqu'à cause dos parallèles on a HN . - IF, et qu'on a pris NX = AB.
Phoposition IV.
Soit {fig. i2'|) AXE cette parabole dont la propriété, comme nous avons dit, est que les cubes des ordonnées soient proportionnels aux carrés des abscisses sur l'axe. Soient Aï l'axe, El la base ou demibase; l'axe AI et l'ordonnée lE étant donnés, on trouvera, comme cidessus, le paramètre AD, dont on retranchera le neuvième, CD; après
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188 ŒUVRES DE FERMAT. [219, îîil
quoi on prendra le milieu B du reste AC. Je divise la base El en autant de parties égales que l'on voudra EF, FG, GH, HI; aux points F, G, H, j'élfeve les perpendiculaires FX. GY, HZ, qui rencontrent la courbe aux points X, Y, Z. Par les points E, X, Y, Z, je mène les tangentes ER, XS, YT, ZV qui rencontrentle prolongement des perpendiculaires FX, GY, HZ, lA aux points R, S, T, V. Enfin je prends, sur le prolonaementdeEl, IK = AB.
Il résulte de la proposition précédente et de son corollaire que l'on
ZV^ HK j . YP CtK XS^ FK ^ E!i^ EK a gj, = -^; de même -^^, = —; = ; enfin gF = kT"
Cela posé, en K j'élève KL perpendiculaire sur EK, et je prends KL = Kl = AB. J'imagine maintenant qu'avec K comme sommet. KE pour axe, on décrive la parabole simple ou parabole d'Archimède, de paramètre KL. Soit KMQ cette parabole, j'élève jusqu'à sa rencontre les perpendiculaires EQ, FP, GO, HN, ÏM qui en seront évidemment les ordonnées, et qui seront dans le prolongement des perpendiculaires FX, GY, etc.
ZV
riK
Comme nous l'avons déjà dit, ^ — -^ ■ Mais, en multipliant les
parabole d'Archimède, HK.KL=HN-; d'ailleurs IK. KL =:KL^, puisque
,, - „, ^, TA HN^ ZV^ „ HN ZV
1 on a pris KL = Kl. Donc ,7,^ —~ ^^r^- Donc tpt — „-,-■
* KLj" mi- Kl , ni
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[121, -rH] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 189
Nous prouverons do même que l'on aura, entre les tangentes et les
. . , , YT GO XS FP ,. ER EQ
ordonnées, les rapports : ^^ = g-j-; p,.^ = j^; enfin ^^ = ^.
Mais, puisque wr- = ^i en égalant le produit des extrêmes à celui des moyens, on a NH.HI - ^ KL.ZV-, De même, OG.GH =-- KL.YT, et PF.FG = KL.XS, enfin EQ.EF = KL.ER.
Mais pourquoi s'arrêter plus longtemps sur une question aussi facile, lorsque nous arrivons ainsi immédiatement à la méthode d'Archimède? En inscrivant et en circonscrivant les figures au segment parabolique, la somme de tons les rectangles QE.EF, PF.FG. OG.GH, NH.HI, représentera le segment parabolique EQMI; la somme des tangentes ER, XS, YT, 2V, en redoublant la circonscription, conformément aux règles de notre méthode, représentera la courbe même EXYZA. Donc le segment parabolique EQMI est égal au produit de KL par la courbe EXA. Or le segment parabolique EQMI est donné en rectilignes, puisque Archimède a carré la parabole et par conséquent ses segments. Donc le produit KL x EXA est donné; mais KL est donné, donc la courbe EXA. et l'on peut trouver une droite qui lui soit égale. i:. Q. v. d.
Si quelqu'un trouvait cependant cette démonstration trop rapide, je ne refuse pas de donner à part le raisonnement complet, en suivant les traces d'Archimède; ceux qui estiment que ce qui précède ne suffit pas pourront lire et examiner le raisonnement qui suit :
Il faut prouver que le segment parabolique EQMI = KL x EXA.
Posons, d'apriîs Archimède, EQMI = KL x ^. KL et ^ sont donnés.
Si nous prouvons que ^ = EXA, notre proposition sera établie.
Je dis donc que ^ = EXA. Si en effet elle n'est point égale il cette courbe, elle sera ou plus grande ou plus petite. Soit d'abord ^ > EXA et soit, dans cette hypothèse, o leur différence.
D'après la proposition II, nous pouvons circonscrire ii ia courbe EXA une figure composée de segments de tangentes et qui soit supérieure à la courbe d'un intervalle moindre que S. Supposons cette cïrcon-
«0 ŒUVRES DE FERMAT. [-ri^nd]
HCi'iption (.'ffcctiiée et représentée dans une ligure à part (Jï^. i25\ marquée cinquième en chiffre romain, où cet ensemble de segments de tangentes, ER + XS h- YT + ZV. d'après ce qui a été démontré, est plus grand que la courbe EXA. Mais on suppose également ^ plus grande que cette courbe, et l'excès de la figure circonscrite sur la courbe est inCérieur à celui de ^ sur la courbe. Donc la figure circonscrite est plus petite que [3. Donc le produit de KL par la circonscrite
est inférieur à KL x p. Mais KL x p est égal au segment parabolique EQMI. Donc le produit de KL par la circonscrite est inférieur à ce segment parabolique EQMI.
Or nous avons prouvé que
KLxERrz-QExEF, KLxXS-PFxFfi,
KLx YT^OGxGH, KLxZV = NHxHL
Donc, en sommant, le produit de KL par la figure circonscrite est égal à la somme QE x EF + PF.FG + OG.GH -!- NH.HI. Si maintenant, sur les droites FP, GO, HN, IM qui décroissent continuellement il mesure qu'elles se rapprochent du sommet de la parabole, on abaisse, des points Q, P, 0, N, les perpendiculaires (parallèles à la
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base) Qy. P9, OX, Ncp, il est clair que le rectangle QEF- ^^ QE.El^; de même ÔF = PF.FG; XG =^ OG x GH; enfin (pH--NH.HI. Donc le produit de KL par la circonscrite est égal à la somme des rectangles
-E, OF. 7.G, çH.
Mais nous avons prouvé que ce produit de KL par la circonscrite est inférieur au segment parabolique EQMÏ. Donc
Î^E -1- eE + )>G 4- 9H < EOMI;
ce qui est absurde, puisque la somme forme une figure composée de rectangles, évidemment circonscrite au segment parabolique, et par conséquent supérieure. Donc ^ n'est pas plus grande que la courbe EXA.
Nous allons prouver qu'elle n'est pas plus petite. Supposons en effet p < EXA, et soit S l'excès de la courbe sur la droite [3.
Circonscrivons à la courbe sur une figure {fig- 126) séparée (désignée comme cinquième, en caractère grec) une suite de segments de
fcl
tangentes inférieure à la courbe EXA, mais en sorte que l'excès de la courbe sur elle soit inférieur h Z. Soit cette suite de segments de tangentes : XR -H YS + ZT + AV.
Comme l'excès de la courbe sur ^ est égal à 5, et que l'excès de la même courbe sur la figure circonscrite est moindre que S, la circonscrite sera plus grande que p, donc son produit par KL sera plus
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192 ŒUVRES DE FERMAT. [îïl, M3]
grand que lo segment parabolique EQMI. Mais, d'après i-e qui a été démontré, le produit de KL par la circonscrite est égal à RF X FE + OG X (iF + NH x HG H- MI x IH.
bln effet, t-tt "= ïtt; donc KL x XR = PF x FE, et ainsi de suite l-E Kl,'
pour les autres.
Puisque le produit de KL par la circonscrite est plus grand que le
segment parabolique EQMI, la somme des rectangles
l»F.FE + OG.GF-f-NH.GII + MI.HI
est supérieure à ce segment parabolique. Mais si on mène les perpendiculaires (parallèles à la base) Py. 09, NX, Mcp, qui rencontrent les ordonnées à l'intérieur de la parabole (car les ordonnées croissent à mesure qu'elles s'éloignent du sommet), les rectangles ainsi construits PE, OF, NG, MH seront respectivement égaux aux précédents. Donc la somme PE -t- OF -h NG -l- MH sera supérieure au segment parabolique. Ce qui est absurde, car ces rectangles PE, OF, NG. MH composent une figure inscrite dans le segment parabolique et par conséquent plus petite.
Donc p n'est pas inférieure à la courbe ESA. Ne lui étant ainsi ni supérieure, ni inférieure, elle lui est égale. C'est ce que nous avons voulu démontrer longuement pour écarter tout scrupule.
De ce qui a été démontré, ressort que l'on peut établir avec la même facilité l'égalité entre un segment parabolique quelconque EQPF, retraQché du premier, et le produit de la donnée KL par la courbe EX. Si donc on donne sur la base un point quelconque F, comme, d'après Archimède, le segment parabolique EQPF est donné en reetilignes, le produit KL x EX est donné ; mais KL est donné, donc l'arc EX. Par conséquent, si l'on donne sur la base un point quelconque F, il est clair que l'arc de courbe correspondant est donné et qu'on peut assigner une droite qui lui soit égale.
Il h'y a pas à objecter que, pour trouver une droite égale ii la courbe EXA, il semble falloir construire une parabole simple, ce qui
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[325,226] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. ItlH
rendrait Ifi problème solide. Car le tracé de cette parabole n'est supposé que pour rechercher la vérité et faire régulièrement la démonstration; rien n'empêche qu'on ne dissimule ce tracé imaginaire de parabole, et qu'on ne fasse le calcul en ne laissant apparaître que des droites et des cercles. Sauf erreur, voici ce calcul.
Soit {fig- 127) la courbe parabolique DAC, telle que les cubes des ordonnées DB et NM soient proportionnels aux carrés des abscisses de l'axe, BA, AM. On donne la hauteur AB, et la demi-base BD, ou la base totale DBC. Je dis que la droite prouvée égale à la courbe DAC est donnée par un calcul véritablement géométrique.
Soit A() le paramètre de cette parabole, qui est donné avec l'axe et l'ordonnée, comme il a été montré plus haut; j'en retranche la neuvième partie EO. Je prends égale au reste AE la droite YK, que je prolonge de KX égale à l'ordonnée ou demi-hase DB. Sur YX comme diamètre, je décris le demi-cercle YTX et, prenant en R le milieu de YK. j'y élève la perpendiculaire RT qui rencontre le demi-cercle en T. Je prends RV égale à RT, et sur VX comme diamètre je décris le demicercle VQX jusqu'à la rencontre duquel j'élève du point R la perpendiculaire RQ. Sur les droites TR, RQ, je décris les demi-cercles TPR, RGQ, et j'y inscris les cordes TP, RG égaies k RY. Je joins RP, QG et je
dis que le rapport
arc DAC
