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et par conséquent est donné. Soit

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^yu'

ŒiiVRES DR FERMAT.

■ La droite. IH donnée par cette constroclion sera

ligale à la courbe parabolique DAC.

Si eette construction d'ailleurs ne concorde pas avec la démonstration précédente, il faut la corriger d'après cette dernière.

Si cette piioPiuÉTÉ de notre courbe parabolique ne suffit pas pour la faire placer par les géomètres au rang des objets particulièrement remarquables de leur Science, ce qui va suivre lui assurera peut-être ce rang. Car qu'y a-t-il de plus singulier que de voir, de cette seule courbe, en dériver une infinité d'autres différentes de cette première et différentes entre elles, et qu'on démontrera néanmoins être égales à des droites données? Voici la proposition générale :

Soient {fig. 128) CMA noire coarhe parabolique, AB sa hauteur, CB sa demi-base; sur cette courbe, on en formera d'autres en nombre infini de

cette façon.. Si l'on mène perpendiculairement à la base des droites quel- Conques DMNL, lîKIH, coupant la courbe aux points M, K, la nouvelle courbe CNIG à former de cette première sera de telle nature que DN soil égale à l'arc correspondant CM de la première courbe, El à l'arc CMK de la première courbe, et de même pour toutes les autres perpendiculaires. Cette nouvelle courbe CNIG sera différente d'espèce de la première.

On formera sur cette seconde courbe une troisième CLHF, en sorte que DL, KIT soient respectivement égales aux arcs CN, CNl de la seconde courbe. Sur la troisième, on formera de la même façon une quatrième, sur la quatrième une cinquième, sur la cinquième une sixième, et ainsi de

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[-«7, -^îS] DESSEIiTAÏION GKOMKTlîiQl. E. VJ'.i

suite àl'infmi. Je dis que toutes ces courbes CNIG, CLIIF, rlc. à l'infini seront, de même que la première parabolique GMKA, égales à des droites données.

Il faut remarquer que toutes ces courhes, en nombro indéfini, simt puremcQt géométriques, et. cependant, on ne peut leur appliquer cette prétendue loi de la nature, dont j'ai parlé au commencement de cette Dissertation. Quoique, en effet, on suppose les droites DN, El égales aux arcs CM, GMK, elles n'en sont pas moins posées comme égales à (les lignes droites, d'après la démonstration précédente. Car, soit donné un point quelconque D, d'après ce qui précède, une droite égale à l'arc CM est donnée; donc la droite DN posée par construction égale à l'firc CAI doit être considérée comme une droite véritablement donnée et non supposée égale à un arc. De même pour les autres. Donc la courbe CNIG est véritablement géométrique, et une fois que nous aurons démontré qu'elle est égale à une droite donnée, il s'ensuivra que la courbe qui en dérive. CLHF, est aussi purement géométrique, et de même toutes les autres indéfiniment.

La démonstration est facile en posant d'abord une proposition (]ui woit générale pour toute cette question.

Phoi'osition- VI.

Soient {Jig. 1 29) une courbe quelconque ONK, de la nature des précédentes, dont 0 est le sommet, OVI l'axe (ou l'ordonnée, car la démonstration est la même dans les deux cas). Je /orme sur elle une autre courbe OAE, telles que ses ordonnées soient égales aux arcs correspondants de la première courbe; c'est-à-dire VA = UN, IK — OR, et ainsi de suite. Je mènerai comme suit la tangente en un point donné de cette nouvelle courbe. Soit E le point donné, je mène l'ordonnée El gui coupe la première courbe en R, Je mène en ce point R la tangente RC à la première courbe. Cette tangente rencontre l'axe au point C. Je posr ~— 7^ -j-jT' et je Joins EB. Je dis que EU est tangente en E à la nouvelle courbe EAO.

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En effet, si je prends sur l'axe un point quelconque V, et si je mène l'ordonnée VNA coupant la première courbe en N, la tangente RC en S, la seconde courbe en A, enfin EB en Y, il me sa0t de prouver que l'on a toujours VY>VA, pour établir que EB ne coupe pas la nouvelle courbe du côté du sommet. Or cette preuve est facile à donner.

En effet, VA = ON ----- OR - .Mi. Mais US < RN, suivant le corollaire de la première proposition. Donc OR — RS > OR — RN. Biais VY -- OR — RS, comme nous allons le prouver tout à l'heure. Donc VY (ordonnée de EB) >■ VA (ordonnée de l'arc OAE). Donc tous les points de EB du côté du sommet sont extérieurs à la courbe; doncEB ne coupe pas la courbe du côté du sommet.

Mais je dis qu'elle ne la coupe pas davantage plus bas. Je prends en effet un point quelconque H, par lequel je mène l'ordonnée HZ, qui coupe la première courbe en D, le prolongement de RC en F, la seconde courbe en Z, le prolongement de EB en Q. Si je prouve qu'en tous cas HQ > HZ, j'aurai prouvé que tous les points de EB, même au-dessous de E, sont extérieurs à la courbe, et par suite la droite EB sera démontrée toucher la seconde courbe au point E.

HZ = Ob --= Ô^ -H RD, par construction. Mais RI" > RD, suivant le corollaire de la première proposition, RF étant un segment inférieur delà tangente RC. Donc ÔR + RF>6r-i- RD. Mais (m -j- RF = HQ, comme nous allons le prouver tout à l'heure, et OR -+- RU = HZ, par

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[ÎSO, 231] 1>ISSERTATI0N GEOMETRIQUE. 197

construction. Donc en tous cas HQ > HZ, Donc la droite Kli est tangente en E à la seconde courbe.

Reste a prouver en premier lieu que OR — RS = VY.

Je mène EM parallèle à l'axe et rencontrant en M le prolongement , vv t. + . El RC ,, - El YV YM , RC RS

deVY. Par construction, -,Tt=-^- Mais m = VR = Mé"^* ÔT = vT^

donc iïïp = y-f Mais,àcausedesparallèies,ME = VI; donc YM = RS. Mais aussi EI = VM; donc El - WY = VY, Or, par construction, EI = 6r. Donc (5R-MY(=RS) = YV. Premier point qu'il fallait démontrer.

On raisonnera de même au-dessous de l'ordonnée ET. Menant EP parallèle à l'axe, on prouvera que QP = RI-'.

En effet, ■^Jou2!îou^ = ^ou^-MaisPE^IH;doncQP = RF.

llî riti le. H Ml

D'ailleurs HQ =.-^ HP + PQ : HP = lE = ()R ; PQ = RF, comme on vient de le démontrer. Donc OR -s- RF — HQ. Second point qu'il fallait démontrer.

Il est donc prouvé que EB est tangente à la seconde courbe au point E, ce qu'il fallait démontrer.

Sorr MALNTENAMT (Jig. i3o) notre courbe parabolique GKA, de bau-

ao (9).

teur AK, de demi-base (Ai, de paramètre AD. Soient, comme précédemment, CD — .jAD, et lî le milieu de AC. De cette première courbe

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198 ŒUVRES r>R FERMAT. [2.31, î3î]

j'en forme une aulrc ii partir du point G, soit GNS, qui rencontr*^ en S l'axe de ia première, la propriété de cette nouvelle courbe étant que, si l'on prend un point quelconque F et que l'on élève la perpendiculaire FKN qui rencontre les deux courbes en K et N, on ait toujours FN égal à l'arc GK de la première courbe. Menons KM parallèle k la base et, par ce même point K, TKH tangente à la première courbe et rencontrant l'axe en T, la base en H; par le point N de la seconde courbe, menons la tangente RNXI, qui rencontre la base en I ; enfin des deux points R, X, pris arbitrairement de part et d'autre sur cette tangente, abaissons sur la base les perpendiculaires XY, RV.

D'après ce qui précède, on a constamment, quelle que soit la tan- , ^T, K'P KL' FE + AB . KT= KH' .

gente KT, -,^-g- ou ^y, =. ~^^—; mais t^^^nïM^ ÏÏë- ' '•" *^^"^*^

des parallèles; donc ..p. = — rr, D autre part, d après la proposition précédente, tj- =----, car les côtés sont proportionnels,

comme le démontre cette proposition; donc les carrés le sont égale-

, j. NF' FE + AB , (NF'-hFPU-^NF) FE+aAli ment. Uonc-.,.,, -- — ^-.^ — ; componcndo : ~ ui-' = """Ait

Mais Kjj = Yyi et aussi -~ -.vy^; donc, si 1 on prend un point quelconque N sur la seconde courbe, le rapport des carrés du segment de tangente et du segment do base correspondant, soit d'un côté, soit de

qu'en 0 j'élève la perpendiculaire OP ----- AB, on aura toujours, pour

j . NR' NX' FO

notre seconde courbe : r^^-. ou T=i-^- = rrr^-

Cela posé, il est clair que les autres courbes en nombre indéfini. qu'on tracera comme nous l'avons indiqué, sont de telle nature que, par exemple, dans la troisième, le rapport des carrés du segment de

en prenant F au point où tombe la perpendiculaire abaissée du point de contact sur la base.

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im.2U} DISSERTATION GEOMETRIQUE. 19!)

Dans la quatrième courbe, le même rapport des carrés dew segments

correspondants de la tangente et de la hase sera ^-rrr"" ' et ainsi de

suite indéfiniment.

La démonstration est toujours la même et s'applique évidemment

en tous cas.

Ceci étalili, il est facile d'arriver au théorème général.

Proposition Vil.

Soient (/ig. i3i) EX notre courbe parabolique, AI son axe, IK sa <lenii-!)ase. Je forme sur elle la seconde courbe EXYZO de telle sorte.

eommcje l'ai dit plus haut, qu'une ordonnée quelconque FX soitégale à l'arc de la première courbe interceptée par cette ordonnée ou perpendiculaire. Je divise la base en un nombre quelconque de parties égales EF, FG, GH, HI; aux points F, G, H, j'élève des perpendiculaires qui coupent fa seconde courbe aux points X, Y, Z. Soient AD le paramètre de la première courbe, CD sa neuvième partie, B le milieu du reste AC. Soit, dans le prolongement de la base, IK = 2AB et, élevée en K, la perpendiculaire KL = AB. Par le point K, sur l'axe KE, j'imagine décrite la parabole simple ou d'Arcbimédc ayant KL pour

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200 ŒUVRES DE FERMAT. r.3i,23:>]

paramètre; soit KMOQ cette parabole; par les points E, F, G, H, T, j'élève des perpendiculaires à la base qtiî reneontrenf cette parabole aux points Q, P, 0, N, M.

D'après le corollaire de la proposition précédente, comme EXÔ est la seconde courbe dérivée de la première, c'est-à-dire formée par le procédé que nous avons déjà indiqué plusieurs fois, si l'on y prend un point quelconque Y, et que l'on mène le segment de tangente YT,

on a (jm = kt' Mais, en multipliant de part et d'autre par KL,

(tK r k "^ k r

ï^ = — -i^i a — j et, d'après la nature de la parabole simple,

GK X KL~GO-, Donc p-^jr ~ J-j- et 7,-Tî = ^t > ou, en égalant le pro-

(jH Mj IjU kl '^ '

duitdes extrêmes à celui des moyens, GO x GH = KL x YT.

Si l'on mène les autres tangentes ER, XS, ZV, rencontrant les perpendiculaires en R, S, V, on prouvera de même que

QE X EF ^ KL X ER, PF x FG = KL x XS ;

et ainsi de suite indéfiniment.

D'où, en ramenant à la méthode d'Archimède par le même procédé que dans la proposition IV, on conclura que le segment parabolique EQMI est égal au produit de KL par l'arc EXÔ de la seconde courbe. De même pour les autres segments paraboliques : par exemple,

segm. EQPF = KL x ÉX; segm. EQOG = KL x EXY; et ainsi de suite indéfiniment.

Or tous CCS segments paraboliques sont donnés en rcctilignes par la quadrature de la parabole qu'Arehimède a démontrée; KL est également donné. On a donc également comme données tant la seconde courbe totale EXO que les ares EX. EY, etc., interceptés sur elle par les perpendiculaires élevées aux points F, G, etc.

Pour égaler à une droite donnée la troisième courbe, la construction sera la même, sauf que l'on prendra IK = 3AB; pour la quatrième courbe, IK = 4AB; et enfin on établira, entre toutes les courbes à dériver indéfiniment de la première, cette relation : que deux quel-

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conques seront entre elles comme les segments paraboliques de même hauteur d'une même parabole, dont les distances au sommet de la parabole sont d'autant de fois le paramètre qu'il y a d'unités dans les ordres des courbes comparées entre elles.

Soient par exemple (yfig- iSs) EMA notre courbe parabolique, AF son axe, ËF sa demi-base, AD son paramètre, CD le ni^uviome do ce

dernier, B le milieu du reste AC. Je forme de cette première courbe la seconde EOS, telle que, si l'on prend un point quelconque N sur la base, NO, perpendiculaire à la base, et qui rencontre les courbes IM, 0, soit égale à l'arc EM de la première courbe. Je forme ensuite de la seconde courbe la troisième EVR, où NV est égale à l'arc EO de la seconde courbe. De ia troisième EVR je forme la quatrième ESL. où NX est égale à l'arc EV de la troisième courbe. Soit à part la parabole simple ou d'Archimède, d'axe indéfini GKQY, de sommet G, de paramètre GH = AB. On demande par exemple le rapport de la quatrième courbe EXL à la primitive EMA.

La première de ces deux courbes étant du quatrième ordre, je prends sur l'axe l'abscisse GY = 4GH et, sur son prolongement, YO = EF (demi-base); je mène les ordonnées YT, OÀ.

La seconde des deux courbes h comparer étant du premier ordre, je prends sur l'axe l'abscisse GK égale au paramètre pris une seule

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202 ŒUVRES DE FERMAT. \jm.2Bl]

foisef, sur son prolongement, KQ = EF (demi-base); je mène les ordonnées Kl, QP. D'après ce qui a été démontré et conformément à ia règle

générale,

segm. parab.YT>9 (4''couvbe)EXL segm. parab.KIPQ ~ (r« courbe )EMA

Mais, d'après Archimède, le rapport des segments paraboliques est donné, donc celui des courbes est donné; mais la première est donnée, comme il a été démontré ; donc la quatrième est donnée, et l'on peut assigner uno droite donnée qui lui soit égale. D'ailleurs cette relation constante peut, si l'on veut, être accommodée en langage géométrique, en écartant la parabole et en se servant seulement de la règle et du compas.

Enfin qui ne voit que ce qui a été prouvé et réduit en règle pour les courbes totales vaut pour les arcs de ces courbes à comparer entre eux, au moyen de segments paraboliques ayant pour hauteur les segments de la demi-base qui correspondent aux arcs de courbes?

Je n'ajoute rien sur les solides engendrés par ces courbes en nombre infini, ni sur leurs surfaces courbes, ni sur les centres de gravité de ces lignes, de ces solides ou de ces surfaces; car les méthodes générales données h cet égard par de célèbres géomètres ne laissent rien ignorer là-dessus une fois connue la propriété spécifique de lacourbe donnée, quoiqu'en beaucoup de cas il ne soit pas inutile que chacun fasse usage de sa propre industrie.

Mais, avant de terminer cet écrit, il me vient à la pensée d'examiner la proposition suivante :

Sote/U {fig. 1 33 ) COA notre courbe parabolique , A son Sommet, AB son axe, CB sa demi-base. On peul en former une infinité d'autres courbes de la manière déjà indiquée, mais non pas, eomme auparavant, du côté de la base, au contraire de celui du sommet. Soient donc formées ainsi les courbes AIF, AGE, etc. indéfiniment, sous celte condition que, si l'on prend sur l'axe un point quelconque D et que l'on mène à l'axe la perpendiculaire TiOlG, quicoupe les courbes aux points 0, I. G, la droite DI

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pour la seconde courbe soit égale à l'arc AO de la première, la droite DG pour la troisième, égale à l'arc AI de la seconde, et ainsi de suite indéfiniment. Toutes les courbes de cette sorte différeront d'espèce non seulement entre elles el par rapport à la première AOC, mais elles différeront

aussi de celles que nous avons formées du côté de la base. On demande si les courbes AIF, AGE, etc. à V infini sonl égales à des droites données ou bien à d'autres courbes (' ).

Que les géomètres le cherchent, ils verront grandir encore la merveille. Il est certain que si les méthodes dont ils se servent pour mesurer les courbes sont générales et suffisantes, comme ils l'affirment, et comme je ne prétends pas dès lors le mettre en doute, ils reconnaîtront la chose au premier coup d'œil et ils épargneront nn travail superflu à un géomètre déjà fatigué.

S'ils trouvent quelques points trop concis dans les démonstrations précédentes, je les prie au reste d'y suppléer ou de m'excusor.

(') Dans la note de la page '237 du Tome I, ii a été dit par inadvertance que les diverses courbes en question pouvaient être superposées par simple translation. De fait, ce Bont dos développées d'hyperboles, rentrant dans l'équation générale

{iiX + bY — nx^=b^, où n représente l'ordre de dérivation à partir de la développée de parabole, j '^ — icx'-, que donne cotte équation, si l'on fait u = o al b — ~a.

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