CA 2 . FX 2 . DC GF
parabole, ; t^, = ^, et — — - — -^^t7 = ■^; donc 7;^^ = ï^; donc
'^ sous-tang. CN 3 sous-tang. FK 3' CN FK'
les triancles DNG, GKF sont semblables; donc =vrr -- 1^- Mais
On prouvera de même que jrr ~ y\'
Les segments de l'axe, AB, BC d'une part, XY, YF de l'autre, étant égaux entre eux, en sommant les segments de tangentes, on aura
DE+ 0 V r.ll ^ IR AC " ~ XF
Mais la somme des segments, DE -h OV, dont on peut multiplier le nombre autant qu'on le voudra, représente, par la réduction à l'impossible, comme on l'a déjà indiqué et prouvé, la courbe totale DOA; de même la somme GH H- IR, dont on peut aussi multiplier le nombre dos termes à volonté, représente la courbe totale GIX. Donc
courbe
DOA courbe GIX AC axe XF '
el
convertendo :
axe AC
axeXF
ou
base DC base GF
PnoposiTfo^
courbe DOA ~ courbe GIX
Soit {fig. i36) AO une courbe d'axe AC, de base CO; imaginons
formée sur elle une courbe de même axe et de même sommet, dont les
ordonnées soient proportionnelles à celles de la première courbe, c'est-
. ,. baseCO BP ordonnée de la F" DE , ■ i-c ■„ , c-
a-dire r 7^=^^^ — s ■ — s — r~T = tïw' •'tc-, indetiniment. Si
base CV BR ordonnée de la a" DN
en un point quelconque 0 de la première courbe, on mène la tangente OH
rencontrant l'axe en H, et que l'on prolonge CO jusqu'à la rencontre
de la seconde courbe en V, je dis que la droite qui joint V, H est tangente
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208 ŒUVRES DE FERMAT. [m,Hi]
à (a seconde courbe, et que les tangentes qui se correspondent sur les deux courbes coupent toujours l'axe au même point.
Fig. i36 {3).
En effet, menons les ordonnées BPR, DEÇI, rencontrant les courbes en P, R, E, N et les droites OH, VH ou leurs prolongements en Q, S, F, M. Si nous prouvons que BS, menée au-dessus de CV, est toujours plus grande que BR, et que DM, menée au-dessous, est aussi plus grande que l'ordonnée DN, il sera clair que la droite MVSH est tangente à la seconde courbe en V.
Or, par construction, ^^ = -^^ et, en raison du parallélisme des
droites COV, BQS, que coupent les trois droites CH, OH, VH, issues d'un
. , CO BO , lîP BQ ... BP BR mcme point, ^ = ^i donc ^^ = '^•, vicissim ^ = ^-
Mais, OQH étant tangente à la première courhe en 0, BQ^BP; donc BS > BR. Ce qu'il fallait prouver en premier lieu.
La démonstration est la même pour l'ordonnée menée plus bas. En
elFet, on suppose ^r? = fp^' d'autre part, à cause des parallèles.
s; donc .-^ = .
Mais DE<DF: donc DN<DM. Donc
MVSH est tangente en V à la seconde courbe.
pour ce qui suit.
Soit (fig. ï37) notre parabole GIA, d'axe AE, de demi-base EFG, de tangente GH. Construisons sur le même axe AE une autre parabole FNA, telle que l'on ait pour la demi-base : EF* = iEG^, et de
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[m,V,G] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 209
même pour les ordonnées quelconques : N0^ = ^01^. Soient AD le paramètre de la première parabole GIA, CD sa neuvième partie, B le milieu du reste. Je mène en F la tangente FH à la seconde parabole; elle rencontre l'axo au même point H que la tangente à la première.
d'après la proposition précédente, ou bien d'après la nature de ces paraboles, puisque l'on a pour l'une et pour l'autre : 7^ --- tï- Je dis
FE' fAB que gjj, -^ g(j
En effet, d'après la proposition III de la Dissertation, ^. = ^■
Prenant la moitié des antécédents, comme ^GE^ - EF^ par supposi-
UB
