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et ainsi
de suite indéfiniment, cette relation ayant d'ailleurs lieu pour toute
oi'donnée.
Proposition IV.
Cela posé, nous découvrons sans difficulté le théorème général. Soient(yîg-. i38) notre parabole AC, AB son axe, BC la demi-base; soient formées sur elle les autres courbes en nombre infini AD, AE,
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ŒUVRES DE EERMAT.
AF, tcllos que, si l'on mène une ordonnée quoli^onfjiifi ÎJCDEF, lîD soit toQJours égale à la prpmièri; courbe CA, lil*^ à Li seconde AD, BF
à la troisième AE, et qu'il en soit de même pour toutes les courbes et toutes les ordonnées. Je dis que chacune de ces courbes AD, AE, AF, etc. à l'infini, est toujours égale à une droite donnée, de même que cela a lieu pour les courbes que dans la Dissertation nous avons construites du côté de la base par un procédé analogue.
Voici le théorème général : Soit construite à part (fig. t'Aq) la parabole 03M absolument égaie et semblable à la parabole AC, ayant [lar
conséquent son axe MN - - AB, sa demi-base ON = BC; c'est seulement pour éviter la confusion que nous faisons une figure à part. Soit NP*=2NM% NQ==3NM^ NR= = 4NM% et ainsi de suite indéfiniment. La demi-base ON restant la même, je construis ,par les sommets P. Q, R, des paraboles de même nature que la parabole 03IVI ou AC; soient 0.^1 P, 05Q, OGR, etc. ces paraboles.
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Vi'il,m\ DISSERTATION (iEOMETlUOUK. 211
Je dis que la paraboli; O-'iP = courbe AD, que la parabole 05Q— courbe AE, qu(; la parabole ()GR-= courbe AF; et ainsi de suite indéfiniment.
Comme, en effet, dans nos paraboles 0/iP. 05Q. 06R, si l'on mène l'ordonnée 23^|56, on a toujours, d'après la nature de ces paraboles,
0 N' NP^ OK' NQ^ ON^' NH^
il est clair, d'après ce qui a été démontré dans la Dissertation, (jue chacune de ces paraboles est égale h une droite donnée; par suite, notre théorème général une fois démontré, il s'ensuivra que chacune des courbes AD, AE, AF est égale à une droite donnée.
Voici la démonstration du théorème général : Soient AS le paramètre de notre parabole, SY son neuvième, V le milieu du reste. Aux points C, D, E, je mène aux nouvelles courbes les tangentes Cf, DH, EG. qui rencontrent l'axe aux points 1, H, G. D'après ce qui a été
démontré dans la Dissertation (prop. III) : ■.,..;- -■- ,; , ; componendo :
BH étant la sous-tangente de DH; donc ^rp = '- — r.-^ — ; componendo: rrrii = ftT^ Mais, a après la même proposiUon, ,. ^ — ^rrr^^ iîLi
Nous prouverons de même que, si l'on mène à la courbe EA l'ordonnée ZTK, coupant en Tia courbe CA, et que l'on imagine au point K
KZ^ AV-i-aZT
ia tangente à la courbe AKE : ■ . - . -g--, = — vr""' ^"^
'^ (sous-tangenifi de Kj- /A
cela, quei'que soit le point K.
Soit tracée {fig. i/'io) sur une figure à part, pour éviter la confusion, cette même courbe AKE, qui sera désignée dans cette figure nouvelle par ^^X. Soient donc la base Xâ = EB, la tangente Xy = EG, l'axe 5^^-:BA, la sous-tangente Sy -- BG, l'ordonnée vij-~7M.. De
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212 ŒUVRES LIE FERMAT. |;w, ISOl
cette courbe Acpp, j'en forme une moindre 0-tt|3, telle que les carrés de ses ordonnées soient moitié des carrés des ordonnées de la première courbe; ainsi Sa- — ^SX^, v-n:*-- ^l^vii^, etc. Je mène à cette nouvelle courbe les tangentes Oy, -ny, aux points 0, tv.
D'après la proposition lU ci-dessus, il est clair que les tangentes Oy, X-; rencontrent l'axe au même point y; de même les tangentes en o, rencontrent l'axe au même point 7, puisque les ordonnées des deux courbes sont en rapport constant.
Je trace encore à part (/ig. [4i) l'ie parabole de même nature que OM, OP, etc., d'axe 98 ^ 3IN ^-r- AB = ^ê; de demi-base 6x -- NO \/| ou BC\/^ . Soit5;i 1 9 cette parabole dont je forme une autre courbe 912'i, de même axe 98, maïs dont l'ordonnée S^j; =- arcj^^i 1 9; l'ordonnée [o II 12 --: arc II g, et de même pour les autres.
Il faut prouver en premier lieu que tes courbes 0~^ et 'j* 1 29 sont es mêmes, c'esl-à-dirc absoiiiment égales et semblables. Voici com-
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[■250, 2j^'] DISSERTATION GEOMETRIQUE.
ment. Nous avons prouvé quo
moitié des antécédents, comme nous avons supposé Oo^ — - ^ XS^,
^5-^ = s — ■ ' • Nous prouverons de même, pour une autre, ordonnée
quelconque tiv, -^—ti = - — yf ' ^tc.
Il faut maintenant examiner si la courbe ■'}ji29 jouit de la même propriété. Yoici comment on y arrivera.
Bans la courbe X119. dont la demi-base y8--BCi/^, et l'axe 89 = AB, d'après le lemme précédent, si l'on mené les tangentes yj), 4^=7 aux points 7,, '^ : .-^^^ - ^; componendo, ^, = -~âi
De même, si l'on suppose la droite 910 --AZ, e'est-à-dire si les points 10 et Z sont à égale distance du sommet, le rapport du carré de
-^j— ■ Mais
(■/0(- {•^8)- . , , tansii 1210
"' ^ ■ sous-tangji sous-lang 1:!
Mais, sur l'autre figure {fig. 1^0), nous avons prouvé que M= ^AV + RC dy' ~ Clî
La même relation aura lieu pour tous les autres points; on prouvera
de même, par exemple, que — ^ — = — ' ^fc.
^ f ' 1 sous-taiigi2 1^ 7
Donc (.Ijs/jenf/ice, prop. I) les courbes 9 i2i|/, ÔTtp ayant même axe et leurs ordonnées étant aux sous-tangentes constamment dans le même rapport que leurs correspondantes de l'une à l'autre courbe, ces courbes seront égales entre elles ainsi que leurs demi-bases et les ordonnées à égale distance des sommets.
Mais, par construction, la demi-base '|/ 8 — 7 1 19; donc yiig : - 9ô, Mais 6S=ôXv^; donc la courbe parabolique yiiCf~S'k\/l. Mais Sx — BE et, dans la construction des courbes dérivées de la première AC, on suppose BE == AD.
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2I'^ ŒUVRES I>K FEliMAT. [ÎS'-, 25i]
Donc parab. ^ II 9 = vtÂD. Maïs on a aussi ^ii9=v'^04P' car]abasex8-=v'iBC=^V'|N0, et l'axe 89 -- AB .= NM ..:. VInP. Les paraboles 04P. X^iQ étant de même nature, et l'axe et la base de la parabole x ' ' 9 étant respectivement dans le rapport \/^ avec l'axe et la base de la parabole O^P^ on aura aussi {Appendice, prop. II 1 parab.,j(^ii9 == \/Tparab.O/iP. Puisque nous avons ainsi prouvé quu la parabole y i 19 est dans le rapport v''- ^'^'^^ ^vec la parabole O4P, soit avec la courbe AD. la courbe Al) et la parabole 04P seroiit égales, c. Q. r. I).
On prouvera de même que la courbe Al^] et la parabole 0 .) P sont égales.
lin etiet, 1177^== — ïïr~^' comme il a ete démontre; componenao vie,
m^ = ûT^ Mais (Dissertation, prop. VI) : i,"„- --•= -— jtt;;
doi
(sous-tangl'')' ~ BC Pour la suite, nous suivrons de point en point la démonstration précédente, sauf que dans la figure à part {/ig- 1^0), après avoir pris XS ----. BF, on prendra âO — v':! BF ou v'T^^; '*> courbe Ao^ sera égale à la courbe FA, et âî:^ sera de telle sorte ()ue ses ordonnées suivent le
rapport des bases ,.-;■
Dans l'autre figure à part (/ig- i-\i), où sont les courbes 911X' 9 i2'j',on prendra comme ci-dessus 98 — NM i:3AB--|3S, mais ensuite la base 8y^ v'iON^ \/?CB. La parabole 7,119 sera de même nature que les paraboles CTA ou 0 3 M. On en formera la courbe 4*129 dont les ordonnées B'\i, 1012 seront, comme ci-dessus, égales aux arcs 7^9, 119, et on prouvera, comme ci-dessus, que les courbes ^TtO, 9 1 1 "/ sont égales et semblables, c'est-à-dire identiques.
On conclura l'égalité des bases ôS, '\>S; par suite la base '^z 8 ou la courbe 911 x= v'î^^^ v'ïBF ^ \/i courbe Alî. Mais on aura démontré précédemment que parab. ^ 11 9 — v^parab. 0 5 Q. Donc la courbe AE et la parabole 05Q seront égales.
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|;ôi] DISSERTATION GÉOMÉTIUQU K. 213
On emploicfit le même raisonnement pour ies cas suliscquonts, et l'on établira ainsi la vérité générale du théorème.
Qui aura lu attentivement la Dissertation précédente et cet Appendice reconnaîtra aussitôt ies principaux fondements de notre méthode et verra qu'on en déduit très facilement la mesure des courbes.
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