SIMPLIFIC4TI0N DES ÉQUATIONS DE LIEUX
rouit L.v coArpARAisox sous toutes i.iis roRjiiis
DES AIRES CURVILIGNES, SOIT EfiTRE ELI,ES, SOIT AVF.C LKS UECTII.IGSES,
SUÎi L'KMPLOI DE LA PiiOGitESSlOX GÉOAlfiTHiQL'E
Archimède n'a employé la progression Eçéométrique qne pour la seule quadrature de la parabole; dans ses autres comparaisons entre quantités hétérogènes, i! s'est borné à la seule progression arithmétique. Est-ce parce qu'il avait trouvé que la progression géométrique se prétait moins bien à la quadrature? Est-ce parce que l'artifice particulier dont il s'est servi pour carrer avec cette progression la première parabole peut difficilement s'appliquer aux autres? Quoi qu'il en soit, j'ai reconnu et éprouvé cette progression comme très féconde en quadratures, et je communique volontiers aux géomètres modernes mon invention qui permet de carrer, par une méthode absolument identique, et paraboles et hyperboles.
Toute cette méthode dérive d'une seule propriété bien connue de la progression géométrique, c'est-à-dire du théorème suivant :
Etant donnée une progression géométrique dont les termes décroissent indéfiniment, la différence des deux termes de la raison de cette progrès -
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[2Qfi] MÉTHODE DE QUADRATIIDE. 217
sion est au plus pela des deua: comme le plus grand de tous les termes de la progression est à la somme de tous les autres jusqu'à l' infini ('').
Cela posé, soit d'abord proposée la guadrature des hyperboles ; Je définis hyperboles des courbes d'espèces variant à rinfmi, qui. comme DSEF {fig. il\i), ont cetto propriété que, si l'on suppose, sous
un angle donné quelconque R(VC, les asymptotes HA, AC que l'on peut prolonger indéfiniment comme la courbe elle-même, et que si l'on mène parallèlement à l'une des asymptotes et comme on le voudra les droites GE, HI, ON, MP, RS, etc., on aura toujours le même rapport entre une puissance déterminée de AH et la même puissance de AG d'une part, et une puissance de GE (semblable ou différente par rapport à la précédente) et la même puissance de HI, d'autre part. J'entends par puissances, non seulement les carrés, cubes, bicarrés, etc., dont les exposants sont 2, 3, 4. ^tc, mais aiissî les racines simples dont l'exposant est r.
Je dis que toutes ces hyperboles à l'infini, sauf une seule, celle d'Apollonius ou la première, peuvent être carrées au moyen d'une progression géométrique par une méthode uniforme et constante.
Soit par exemple l'hyperbole dont la propriété est déiinie par l'éga-
(') Soit S la somme des termes d'une progression géométrique décroissant indéfiniment dont le plus grand terme est a, et la raison q-- -; comme ï<i, v>u. Fermât énoiieo k relation 5 ; d'où Ion tire immédiatement S -- a —
Vt.«
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OA' HI . , j.
ÀW == ON' ""'• '" ''" "i"" l'espace indéfini qui a pour base GE et qui est limité d'un côté par la courbe ES, de l'autre par l'asymptote indéfinie GOR, e,st égal à une aire rectiligne donnée.
Imaginons les termes d'une progression géométrique décroissant indéfiniment; soient AG le premier, AH le second, AO le troisième, etc. Supposons que ces termes soient assez rapprochés les uns des autres pour que, suivant la méthode d'Archimède, on puisse adégater, comme dit Diophantc, ou égaler par approximation le parallélogramme rectiligne GE x GH au quadrilatère mixtiligne GHIE; nous supposerons de pins que les premiers intervalles GH, HO, OM, etc. des termes progressifs soient suilisamment égaux entre eux, pour que l'on puisse facilement employer la méthode d'Archimède de réduction à l'impossible, par circonscriptions et inscriptions. Il suffît de faire cette remarque une fois pour ne pas s'obliger à revenir et h insister constamment sur un artifice bien connu de tous les géomètres.
^1 . ■ AG \Jt AO . Afi GH IIO
Cela pose, puisque ^^ ^ ^y^^^ on aura aussi ^ --= j,--^ =- ^-^.
pour les intervalles. Mais, pour les pai'allélogrammes,
EG X GH HlxHO HIx HO "■ NO xOxM'
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