AO , AG . AO

ports -^ et ^; mais jjj fist compose des mêmes rapports; on aura

donc pour le rapport des parallélogrammes : -ïTr-"-ïf/-, ^-= ttj ''- ^^■

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1358, Q59] METHODE DE Q U ADT\ ATlj KK. 219

r, , . m X HO AO

un prouvera de même que ^r^ — jttj = ût-

Mais les droites AO, HA, GA gui constituent les rapports des parallélogrammes, forment, par construction, une proportion géométrique ; donc les parallélogrammes en nombre indéfini Glî x GH, HI x HO, ON X NM, etc. formeront une progression géométrique continue dont

la raison sera -rrr- Par suite, selon le théorème constitutif de notre AG

méthode, GH, différence des deux termes de la raison, sera au plus petit terme GA, comme le premier terme de la progression des parallélogrammes, c'est-à-dire comme le parallélogramme EG x GH, à la somme de tous les autres parallélogrammes en nombre indéfini, ou autrement, suivant l'adéquation d'Archimède, a la figure limitée par HI, par l'asymptote HR et la courbe IND prolongée indéfiniment. Mais, si l'on multiplie les deux termes par GK, ~ -= rr^ — r^;

donc GE X GH est à cette figure indéfinie dont la base est HI comme GE X GH est à GE x GA. Donc le parallélogramme GE x GA, qui est une aire rectiligne donnée, est adégal k la figure précitée; si l'on ajoute de part et d'autre le parallélogramme GE x GH, qui, par suite des divisions indéfiniment poursuivies, s'évanouira et se réduira ii rien, on arrive à cette vérité qu'il serait facile de confirmer par une démonstration plus prolixe, menée à la façon d'Archimède : que dans ce genre d'hyperbole, le parallélogramme AE est équivalent à la figure comprise sous la base GE, l'asymptote GR et la courbe ED indéfiniment prolongée.

Il est facile d'étendre cette invention k toutes les hyperboles définies ci-dessus, sauf la seule exception que nous avons indiquée. Soit en effet une autre hyperbole ayant pour propriété que ~ ---^ t^t^i etc. pour les autres ordonnées.

Prenons, comme ci-dessus, une série indéfinie de termes en progression; on démontrera de même que les parallélogrammes EH, 10, MN, etc. forment de même une progression indéfinie; mais, dans ce cas, le rapport du premier parallélogramme au second, du second au

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220 ŒUVRES DE FERMAT. [?5a, ^GOJ

troisième, etc. sera -^-j^, ce que montrera immédiatement la composition des rapports. Donc le parallélogramme EH sera à la figure comme OG à GA. ou, en multipliant les termes par GE, comme OG x GE à GK X GA : vicissim OG x GE est à EH ou GE x GH comme GE x GA à la

t, „ . 0(ixGE OCr 3 ,, . I ■ . n

tiaure. Mais ht; — ^,î = 7777 ou - par adéquation; car les mtervalies

" Hli x tiE, (jH I ' '

voisins de la base sont, par construction, sensiblement égaux entre eux. Donc, dans celte hyperbole. le parallélogramme EGA, qui est égal à une aire rectiligne donnée, sera le double de la figure comprise sous la base GE, l'asymptote GR et la courbe ESD indéfinimcnl prolongée.

La démonstration sera la même dans tous les autres cas; il n'y a que pour la première hyperbole, c'est-à-dire la simple ou celle d'Apollonius, que la méthode est en défaut. La raison en est que les parallélogrammes EH, 10, NM y sont toujours égaux; les termes constitutifs de la progression, étant dès lors égaux entre eux, ne donnent aucune différence, et c'est précisément la différence qui fait tout le mystère de cette affaire.

Je n'ajoute pas la démonstration que, dans l'hyperbole commune, les parallélogrammes en question sont toujours égaux; la chose se voit immédiatement et dérive aussitôt de cette propriété de l'espèce