BC , , , , BC

on 1 a prouve plus haut, ttt;;; mais un rapport compose dos deux ™

et TT^ est égal an rapport tt^; donc le rapport des parallélogrammes

^ ^ ~, et par conséquent, d'après le théorème constitutif de notre

méthode, le rapport du parallélogramme AE à la figure IRCHE est -yp

et celui du même parallélogramme AE à la figure totale AIGRCB est

TTT71 BC étant le diamètre total. Mais, si l'on multiplie de part et

222 ŒDVRES [lE FERMAT. [M2, ira]

d'autrepai'AB, TjTT -= Vtj — 777=1 orABxUCostleparallélogrammeBD, obtenu en menant AD parallèle au diamètre et en la prolongeant jusqu'à la rencontre en D avec la tangente CD ; donc le rapport du parallélogramme AE à la figure semi-parabolique ARCB est le même que

AP ATiTR

celui des parallélogrammes AB x BY et BD; donc „ ^ = — ijîï— ■ Mais AE avant AB pour cote, ^tr — ïjv- = mr'i «onc y,,, = —,;■>-' ""

•' ' AH X lïï lit 1> I lïU

convertendo, T-n-^irr — îjp- Mais, à cause de V adégalité Aç,'^ droites BV, VË, EY, différences des termes de la progression, mais supposées sensiblement égales par suite de la division en un très grand nombre de parties très petites, tt^ = -■ Le rapport du parallélogramme BD à la figure est donc le rapport de 3 à 2, ce qui est d'accord avec la quadrature de la parabole donnée par Archimède, quoiqu'il se soit autrement servi de la progression géométrique. Si d'ailleurs j'ai trouvé nécessaire de changer sa méthode et de prendre une autre voie que la sienne, c'est que je suis assuré qu'en suivant exactement les traces de ce grand géomètre, on reconnaîtra que l'emploi de la progression géométrique est stérile pour la quadrature des autres paraboles en nombre indéfini, tandis que pour toutes ces paraboles sans exception la démonstration ot les règles générales sont immédiatement données par notre procédé.

Soient, pour ne pas laisser lieu au doute, AIGC i^fig. i44) la parabole dont j'ai parlé dans ma Dissertation sur la comparaison des lignes courbes avec les lignes droites, AB sa base, BC son diamètre, lE, IC ses ordonnées telles que l'on ait -j^^ == ^r^- Qu'on imagine le reste de la construction comme ci-dessus, c'est-à-dire la progression indéfinie des droites BC, EC, NC, MC, etc. et celle des parallélogrammes AE, IN, OM, etc.

Prenez entre BC et EC les deux moyennes proportionnelles VC, BC; de même, entre EC et CiN, les deux moyennes proportionnelles SC, TC.

Comme, par construction, pT^ -- -^^ les lignes BC, VC, RC, EC, SC, TC, NC seront en progression.

Fis. >M-

D'ailleurs yuj = =uik — vp" Mais, dans la progression des sept pro-

It liij riKj

portionnelles BG, VC, BC, EC, SC, TC, NG, la première, la troisième,

la cinquième et la septième forment aussi une progression continue.

Donc : : BC : RC : SC : NC, et en prenant le premier, le second et le

quatrième terme de cette nouvelle progression, =rfTT = -.jt..,; mais nous