BF. BC
(puisque d ailleurs - . , --- -^j, y
D'antre part, dans les sept proportionnelles, en prenant la pre-
..,,-■, , , -. . , ■ ■• BC RC ,
miere, la troisième, la quatrième et la sixième, on a ^^ = 7^; donc
AE RC ^*i M*^ j AE BT
IN "^ KC ^ TC ^ TC' """'^ n;CE '- Tc' Donc, d'après ce qui a été démontré, le rapport du parallélogramme
, , /> AU, lil
a la figure : j-,^g =. jj =
- ., en multipliant de part pi d'autre
la communauté du côté AB. Mais BT comprend cinq intervalles : TS,
SE, ER, RV, VB qui, à cause de notre méthode logarithmique, sont
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221 ŒUVRES DE FERMAT. [^5, '>!ir>|
censés égaux entre eux; BE en comprend trois : ER, RV, VB; donr, dans ce cas, le rapport du parallélogramme BD à la figure est de 5 h 3.
On peut de là tirer facilement une règle universelle. Il est clair e/i effet que le rapport du parallélogramme BD à la figure AICB est toujours égal au rapport de (a somme des exposants des puissances de l'ordonnée et de l'abscisse à l'exposant de la puissance de l'ordonnée. Ainsi, dans cet exemple, la puissance de l'ordonnée AB est le cube, l'exposant 3; celle de l'abscisse est le carré, exposant i. On doit avoir, ainsi que nous l'avons établi comme règle constante, le rapport de la soninu' 3 -t- 2 ou 5 â 3, exposant de l'ordonnée.
Pour les hyperboles, on trouve aussi facilement une règle universelle. Dans une hyperbole quelconque {fig. i/|2) le rapport du parallélogramme BG à la figure indéfiniment étendue RGED sera égal au rapport de la différence de l'exposant de la puissance de l'ordonnée et de celui de lapuissance de l'abscisse à l'exposant de lapuissance de l'ordonnée. Soit, par exemple, tt^ ~ -^■, la différence des exposants du cube et du carré, 3 — 2 ^- i; l'exposant de la puissance de l'ordonnée, qui est au carré, est 2. Dans ce cas le rapport du parallélogramme à la figure sera de 1 à 2.
Pour ce qui regarde les centres de gravité et liis tangentes des hyperboles et paraboles, leur invention, dérivée de ma Méthode de maximis et minimis, a été communiquée aux géomètres modernes, il y a déjà environ vingt ans. Les plus célèbres mathématiciens de la France voudront bien sans doute le faire savoir aux étrangers, atin que dans l'avenir il n'y ait point de doute à cet égard.
Il est REJiARQUABLE Combien le travail des quadratures peut être avancé par la théorie qui précède; car elle permet de carrer facilement une infinité de courbes auxquelles n'ont jamais pensé les géomètres tant anciens que modernes. Nous allons condenser brièvement ces résultats sous certaines règles.
Soit une courbe dont la propriété conduise à l'équatioTi suivante :
b' — a^—ie- (on voit immécliatomenl qno celle courbe est un cercle).
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LÏG7, 268] METHODE DE QUADRATURE. 22a
On petit ramener la puissance de l'inconnue e^ à une racine pai' une division (application ou parabolisme). Nous pouvons en efîisl poser
car on est libre d'égaler le produit de l'inconnue u par la connue h au carré de rinconnue c. On aura donc alors
Mais le ternie hu peut être décomposé en autant de termes qu'il y en a dans l'autre membre de l'équation, tout en affectant ces termes des
mêmes signes que ceux de l'autre membre. Posons donc
en représentant toujours, comme Vie te, les inconnues par des voyelles.
Il viendra
h^—a^—hi—hy.
Egalons chacun des termes d'un membre au correspomlant de l'anlrc.
On aura
b-^^hi d'oLL i^ i sera doniiô,
— a^—.— by ou a^^hy.
Le point extrême de la droite/ sera sur une paraboleprimaire. Ainsi,
dans ce cas, tout peut être ramené à un carré; si donc on ordonne tous
les e^ sur uno ligne droite donnée, leur somme sera un solide recti-
ligne donné et connu.
Soit maintenant proposée la courbe dont l'équation est
Qu'on applique e' à une aire donnée, soit par exemple : «■' = li"ii. La droite u pouvant être composée de plusieurs inconnues, soit
a^ ■+- ba- =Lb-i+ b^y.
Egalons terme à terme, savoir :
a'= b^i, on aura une parabole sous un cube el uiie racine. 6(1- ;z: b^y, on aura une parabole sous un carré et une racine, c'eil-à-dire primaire.
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226 ŒUVRES DE FERMAT. [!(ia, îG3]
Op ces deux paraboles sont carrables; donc la somme des e'-' ordonnés sur une droite donnée formera un bi-plan qu'on pourra facilement égaler à des quantités rectilignes du même degré.
S'il y a dans l'équation un plus grand nombre de termes, aussi bien que s'ils sont composés avec différentes puissances de l'une ou de l'autre inconnue, ils n'en pourront pas moins d'ordinaire être traités par la même méthode, au moyen de réductions légitimes.
Il est donc clair que si dans la première équation : A^ — a' = e-, au lieu de é^, nous substituons bu, nous pouvons considérer comme un olan la somme de tous les «, ordonnés sur une ligne' droite, et la carrer. En effet la somme des u n'est autre chose que colle des e"-, divisée par une droite donnée b.
De mémo dans la seconde équation, la somme des u n'est autre chose que celle des e*, divisés par le carré donné h^.
Donc, aussi bien dans le premier que dans le second cas, la sotninc des u fait une iigure égale à une aire rectiligne donnée.
Ces opérations se font ^ay synêrèse et s'accomplissent, comme il est clair, au moyen de paraboles.
Mais on n'obtient pas moins de quadratures jta.v diérèse, au moyen d'hyperboles, soit seules, soit unies à des paraboles.
Soit proposée, par exemple, la courbe ayant pour équation
On peut de même poser e' — èw, ou bien, pour avoir de part cl d'autre trois termes dans chaque membre de l'équation
hu ■— bo -\- bi -\- by.
Il viendra
—- — -T bo -i- /'i-h- by ii\, égiilemcnl Leniie à tonne i
I" — = bo; tnultipliani par a' des deux côtés, h'^ = u'''/i<>; divisani par /'; b'' -- a'o, éijualion d'une hyperbole. On sait en effet (jue les
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[270,2711 METHODE DE QU ADRAT U It V.. 227
équations con&titLitives des hyperboles renferment thins iin inembri: une quantité donnée, dans l'autre le produit de puissances des deux inconnues.
2" —j- ou — = bi. Multipliant par «' et divisant par b de part cl d'autre : b^^ci/'i, équation d'une hyperbole différente de la précédente.
3'' — j ourt- = hy; équation d'une parabole.
On voit donc que, dans l'équation proposée, la somme des u ordonnés sur une droite donnée est égale à une aire rectiligne donnée; car la somme de deux hyperboles carrables et d'une parabole donne une aire égale h un rectiligne ou à un carré donné.
Rien n'empêche au reste de diviser séparément, comme on l'a fait, chacun des termes du numérateur par le dénominateur. Le résultat est en effet le même que si l'on divisait en une fois par le dénominateur le numérateur entier composé de trois termes. Cette division séparée permet de comparer facilement chaque terme d'un des membres de l'équation à son corrélatif dans l'autre.
boit propose encore : 5 — = e'.
Posons e' = b^u, ou bien, à cause des deux termes du membre corrélatif, e^ = h^i— h-y. Ou aura :
1° — ^ = — =6^;; multipliant par à- et divisant par b", b" = a'-i, équation d'une hyperbole carrable.
2" -j = b'y; multipliant par a^ et divisant par P, b* = a'^y, équation constitutive d'une hyperbole carrable.
Si donc on revient à la première équation, on aura, dans ce cas, donnée en reclilignes la somme do tous les e\ ordonnée sur une droite donnée.
Mais rien m'eupéciie d'aller plus loin dans le travail des quadratures.
Soit (Jîg. 145) une courbe quelconque ABDN, de base HN, de diamètre HA; soient CB, FD les ordonnées sur le diamètre, BG. DE les ordonnées sur la base. Nous supposerons que les ordonnées dé-
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228 ŒUVRES DE FERMAT. [î7i, -372]
crnissenl constamment de la base au sommet, comme dans la figure : <;'est-à-dirc HN > FD ; FD > CB, et ainsi de suite.
La figure formée par les carrés de HN, FD, CB, ordonnés sur la droite AH, c'est-à-dire le solide CB' x CA. . . -k FD* x FC. . . -H NH= x HF, est toujours égale à la figure formée par les rectangles BG x GH, DE X EH doublés et ordonnés sur la base HN, c'est-à-dire au solide 2BG.GH.GH...-}-2DE.EH.EG, etc., la série des termes de part et d'autre étant supposée indéfinie. Or, pour les autres puissances des ordonnées, la réduction des termes sur le diamètre aux termes sur la base se fait avec la même facilité, et cette observation conduit à la quadrature d'une infinité de courbes inconnues jusqu'ici.
En effet, la somme des cubes de HN, FD, CB, ordonnés de même sur la droite AH, sera égale à celle des produits : BG.GH-, DE.EH^ triplés et ordonnés de même sur la droite HN, c'est-à-dire que le biplan CB".CA...-i- DF^FC...^-HN^HF sera égal à la somme des biplans 3(BG.GH^HG...+ DE.EH^.EG).
De même la somme des bicarrés de HN, FD, CB, ordonnés sur la droite AH, sera égale à çuff/re/ow celle di^s !)i-plans BG.Gi^'...Di■;.l•;H^ ordonnés de même sur la droite HN.
De là dérivent, comme on va le voir, une infinité de quadratures. Soit, par exemple, cette courbe ABDN, dont on donne la base HN et le diamètre HA. Appelons analytiquement b le diamètre donné HA. rfla base donnée HN,e une ordonnée quelconque FD, a une coordonnée quelconque HF, et soit, par exemple, b- — a' = e'^ l'équation constitutive de la courbe (qui sera un cercle). D'après le théorème général
qui précède!, la somme des e-, ordonnés sur la droite b, est égale à la somme des produits HG.GB, doublés et ordonnés sur la droite HN ou d; mais la somme des e^, ordonnés sur b, est égale, comme on l'a prouvé plus haut, à un rcctiligne donné; donc la somme des produits HG.GB, doublés et ordonnés sur la base d, forme une aire rectilignc donnée; si l'on prend la moitié, la somme des produits HG.GB, ordonnée sur la base d, formera de même une aire rectiligne donnée.
Pour passer facilement, et sans embarras de radicaux, de la première courbe à la nouvelle, nous devons employer un artifice qui est toujours le même, et dans lequel consiste notre méthode.
Soit Hfi.ED un quelconque des produits à ordonner sur la base; comme nous appelons analytiquement e l'ordonnée FD ou sa parallèle HE, a la coordonnée FH ou sa parallèle DE, nous appellerons ea le produit HE.ED. Égalons ce produit ea, formé de deux droites inconnues et indéterminées, à bu, c'est-à-dire au produit de la donnée b par une inconnue «, et supposons que u soit égale à EP prise sur la même droite que DE; nous aurons — == a. Mais, d'après la propriété spécifique de la première courbe : h" — a' = e^ ; substituant à a sa nouvelle valeur —, il viendra 6V= — 6^«^=e* ou, en transposant, b'-é- — e^= &=^^^ équation constitutive de la nouvelle courbe HOPN, dérivée de la première, et pour laquelle il est prouvé que la somme des bu ordonnés sur b est donnée. Divisant par b la somme des « ordonnés sur la base, c'est-à-dire la surface HOPN, sera donnée en reclignes, on aura donc sa quadrature.
Soit, comme second exemple, ba^—a'^e^ l'équation constitutive de la première courbe. La somme des e^ ordonnes sur le diamètre b est donnée, donc la somme des produits HE^.ED ordonnés sur la base. Mais HE^ED est en expression analytique s'a; égalons ce produit à
b'^u, et supposons, comme ci-dessus, EP = «. On aura -^ =«; si donc, au lieu de a. on substitue sa valeur — ^ . et qu'on suive les règles del'analvsc, on aura b'irc- — c'--^b''u\ équation constitutive de
la nouveilc coui-bc HOPN dérivée de la premièro, et pour laquelle la somme des produits b^u, ordonnés sur la base d, est donnée. Divisant paré-, la somme des u ordonnés sur ia base d sera donnée, donc la quadrature de la figure HOPN. La méthode est générale et s'étend à tous les cas indéfiniment.
Mais il faut remarquer et observer avec soin que, pour les transformations de courbes dont les ordonnées au diamètre décroissent vers la base, les analystes doivent suivre un autre procédé qui diffère du précédent.
Soit {/ig- i^ti) la courbe primitive IVCBTYA, de diamètre Al, d'ordonnées MV, NC, OB, Pï, QY. Cette courbe est supposée telle que ses
Fig. i46.
ordonnées MV du coté de la base décroissent jusqu'à la base, en sorte que MV<; NC; que, d'autre part, du côté de A, la courbe s'infléchisse suivant CBYA, en sorte que CN>BO, BO > PT, PT > QY, etc., en sorte que l'ordonnée maxima soit CN.
Si, dans ce cas, nous cherchons la transformation des carrés MV-, NC- on produits sur la base, nous ne les comparerons plus aux produits IR.RV, comme précédemment. Car le théorème général suppose que la somme MV-... + NC- est égale à celle des produits VG.GN. puisque CN, l'ordonnée maxima, peut et doit être regardée comme base par rapport à la courbe dont le sommet est 1. Il faut donc, dans une courbe dont les ordonnées décroissent vers la base, comparer les carrés MV-...NC- aux produits GV.GN, c'est-à-dire, pour arriver sur cette figure à une équation analytique : si nous posons Ml = RV = «, MV = RI ^ e et CD = GR = s donnée (cette droite menée parallèle-
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ment au diamètri! par l'extrémité de l'ordonnée maxima est facile à trouver par nos méthodes), on aura GV.GN = ze — ae; par suito, la somme des carrés MV^...NC^ jusqu'à l'ordonnée maxima sera comparée à la somme des produits ze — ae, ordonnés sur la base ID. La somme des autres carrés CN^, BO', PT^ sera comparée à la somme des produits YF.FN, soit en expression analytique ae — se. Gela établi, on dérivera facilement de la première courbe une nouvelle sur la base; on observera la même règle pour toutes les autres puissances des inconnues.
Pour bien montrer que notre méthode fournit de nouvelles quadratures, dont aucun des modernes n'a encore jamais rien soupçonné, soit proposée la courbe précédente, dont l'équation est
H a été prouvé que la somme des e' est donnée en rectilîgnes. En tes transformant sur la base, on aura, d'après la méthode précédente, — ^ = a; substituant la nouvelle valeur de a, et achevant les calculs suivant les règles, on arrivera à la noiivelle équation e"-i-«'=ie«, qui donne une conrbe du côté de la base. C'est celle de Schooten, qui en adonné la construction dans ses Miscellanea, section XXV, page 493. La figure courbe AKOGDGH do cet auteur sera donc facilement carrable d'après les règles précédentes.
Il y a également lieu de remarquer que, des courbes dont la somme des puissances des ordonnées se trouve donnée, on peut déduire des courbes facilement carrables, non seulement sur la base, mais aussi snr le diamètre. Supposons, par exemple {fig- i45), l'équation constitutive déjà prise 6=— a*= e"; non seulement on en dérivera une nouvelle courbe sur la base ayant pour équation b'^e"^ — e* ^ b-u^, mais encore une nouvelle courbe sur le diamètre en égalant la puissance de l'ordonnée e- à un produit bu. Car la somme des produits bu, ordonnés sur le diamètre, sera donnée; donc, en divisant par b la somme des u ordonnés sur le diamètre, on anra la quadrature de la courbe
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232 ŒUVRES DE FERMAT. fm, "JlK]
dérivée de la primitive sur le diamètre, et dont l'équation sera /;- — a- = bu. Il est évident que cette nouvelle courbe sur le diamètre est une parabole. Une transformation de cette sorte, non seulement donne des courbes nouvelles dérivées des premières, mais conduit facilement des paraboles aux hyperboles et des hyperboles aux paraboles, comme l'essai le fera voir.
Mais, de même que des courbes oii est donnée la somme de puissances des ordonnées, l'analyse précédente dérive des courbes où la somme des ordonnées simples est donnée, de même, de courbes où est donnée la somme des ordonnées, on arrive facilement à des courbes où est donnée la somme des puissances des ordonnées.
Soit, comme exemple, la courbe dont l'équation est ô^e* — e*^è*£i*, équation oii, comme je l'ai établi, la somme des u est donnée. Si l'on pose «=.-^, et qu'on substitue à u sa nouvelle valeur -^j on aura h-e-— e'^a'e-, et, en divisant tous les termes par e^, è^— e-=a-, ou bien h'^ — (û = e^. Dans cette nouvelle courbe, qui est un cercle, la somme des e- sera donnée.
Si de la premiiire courbe où est donnée la somme des ordonnées, on veut en déduire une nouvelle où soit donnée la somme de leurs cubes, on se servira toujours de la même méthode, mais en prenant des puissances conditionnées des inconnues.
Ainsi, soit proposée la courbe que nous avons plus haut déduite d'une autre et dont l'équation est b'' u- e^ — e° ^ b" u^ , et oii il est établi que la somme des u, c'est-à-dire des ordonnées, se trouve donnée.
Pour en déduire une nouvelle courbe où la somme des cubes des ordonnées soit donnée, on posera u = -j-fj et on substituera à « sa
nouvelle valeur; en opérant conformément aux règles de l'art, on aura l'équation ba" — a^ = «% qui donnera une courbe où la somme des e*, c'est-à-dire des cubes des ordonnées, se trouve donnée.
Cette méthode, non seulement conduit à la connaissance d'une inlinité de quadratures jusqu'à présent ignorées des géomètres, mais
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encore fait découvrir une infinité de courbes dont on obtient les quadratures en supposant colle de coiirlics plus simples, comme le cercle, riiyperhoie, etc.
Par exemple, dans l'équation du cercle b- — a^= e^ on a, données en rectilignes, les sommes de toutes les puissances des ordonnées dont l'exposant est pair, carrés, bicarrés, bicubes, etc. Quant â la somme des puissances à exposant impair, comme celles des e', e^, elle n'est donnée on rectilignes que si l'on suppose la quadrature du cercle. 11 est facile de démontrer ce que je viens de dire et de le réduire en règle, comme corollaire de la méthode qui précède.
Il arrive aussi souvent que, pour trouver la mesure d'une courb(! proposée, il faille réitérer l'opération doux fois ou plus souvent encore.
Soit proposée, par exemple, la courbe déterminée par réquatioji suivante :
Si la somme des e est donnée, ainsi que la droite b, on aura aussi comme donnée celle des rectangles be. En inversant la méthode que nous avons exposée au début de cette Dissertation, posons hs ^ a- ,
d'oii -j =e. Substituant à e sa nouvelle valeur, il viendra
Nous avons là une première opération, inverse de celle indiquée au début de la Dissertation, et qui a conduit à une nouvelle courbe où il reste à chercher si la somme des o' est donnée.
Il faut donc recourir à la seconde méthode qui de la somme des carrés des ordonnées conduit à la somme des ordonnées simples.
D'après la méthode précédente exposée en seconde ligne, posons .^ =a et substituons à « la nouvelle valeur que lui assigne cette méthode. Il viendra h'- — b- <r = b- ir , et divisant tous les termes par i', W — fr = ir, équation du cercle. La somme des u est donc donnée, si l'on suppose la quadriiture du cercle.
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^'î'^ ŒUVRliS OE FKHMAÏ. [î«0, 281]
Si nous remontons à la première courbe : b^ ^= a'e ■■\- We, il en l'ésulte que l'aire de cette courbe peut être carrée en supposant lii quadrature du cercle, et nous sommes facilement et rapidement arrivés à cette conclusion par notre analyse, au moyen de deuN; courbes différentes de la précédente.
L'utilité de tout ce qui précède sera immédiatement reconnue par un analyste subtil, tant pour l'invention de droites égales à des courbes, que pour nombre d'autres problèmes qui n'ont pas encore été assez approfondis.
Soient {Jlg. 148) AB une parabole primaire, CB son axe, CD l'ordonnée égale à l'axe CB et au paramètre BV. Prenez BP, PL, LG
Pi
iî
égales entre elles et à l'axe CB, et portées sur son prolongement. Menez à CD les parallèles indéfinies BX, PS, LO (qui seront données) et par un point quelconque F de la courbe, menez h l'axe la parallèle FXSOK rencontrant les droites BX, PS, LO aux points X, S, 0.
Kaites enfin — ^tt — ou 4-q = ttj-- Prenant de même les points D, E,
. DR RiN , EQ OM
taites „j^ = -^ et j^^. = =rr^- Imaginez par les points G, H, 1, une courbe indéfinie qui aura pour asymptote la droite indéfinie LO. Cette courbe GHIK est celle dont l'espèce est définie par l'équation [irécédente, h^ — a^e-^h-e. Je dis donc, d'après la réitération indiquée ci-dessus des opérations analytiques, que l'aire KIHGLMNO, qui se prolonge indéfiniment du côté des points K, 0. est égale au double du cercle ayant pour diamètre l'axe BC. C'est ainsi que nous avons immédiatement résolu cette question que nous proposait un savant tçéomètre.
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[281,58;] METHODE DE QUADRATUKE. 235
Pai" la même mélhode j'ai carré la courhe de Diodes ou plutôt j'ai ramené sa quadrature à celle du cercle.
Mais le redoublement des opérations est surtout éiéiçant lorscjnc l'analyse passe des plus hautes puissances des ordonnées aux plus basses, ou au contraire des plus basses aux plus bautes ; cette méthode s'applique en particulier pour trouver la somme des ordonnées dans une courbe quelconque proposée, ainsi qu'à beaucoup d'autres problèmes de quadratures.
Soit proposée, par exemple, la courbe doiit l'équation est
l'I qu'on voit immédiatement être un cercle. On demande la sommi' des cubes des ordonnées, c'est-à-dire la somme des e^
Si la somme des e^ est donnée, on peut, par les méthodes précédentes, en raison de la nature de la puissance, déduire de cette courbe une autre sur la base, où la somme des ordonnées soit donnée. Soit
posé, d'après la méthode, — ^ == a. Substituant à « sa nouvelle valeur, il vient b'-e* — e" = h''o^ , équation d'une courbe où, dans l'hypothèse que la somme des e'' de la première courbe est donnée, la somme des o sera donnée.
Puisque, dans cette nouvelle courbe, la somme des o est donnée, on peut en dériver une troisième où l'on cherche la somme des carrés des ordonnées, et non celle des cubes comme dans la première courbe. D'après notre méthode pour les carrés, nous poserons, comme on l'a vu, -r :--= o; d'où h-e^ ~ «"^ b-e'-u^. Divisant tout par e^ il viendra b'-e^ — e' =: b^u", courbe où la somme des e^ doit être donnée. Partant de cette courbe, cherchons-en une où soit donnée la somme des ordonnées; posons par exemple e- = by; la dernière équation deviendra M' — V'-— «". Si donc, dans la précédente, la somme des e- est donnée, dans celle-ci on aura celle des by, do ne celle des y.
Or dans cette dernière courbe, qui est évidemment un cercle, la somme des/ est donnée, en supposant toutefois la quadrature du
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236 ŒUVKES DE FERMAT. [isi, -m]
cerclo; donc, en remontant de celte dernière couriie, où finit notre analyse, à la première, il est clair que dans le cercle la somme des cubes des ordonnées est donnée, si l'on suppose la quadrature du cercle. De même pour les puissances cinquième, septième et les autres de degré impair indéiiniment, comme il est facile de le voir. Seulement le nombre des courbes se multiplie à mesure que s'élève le degré de la puissance dont il s'agit. On passera sans difficulté de l'analyse h. la synthèse et au véritable calcul de la figure à carrer.
Au reste, il arrive souvent qu'il faut étrangement promener l'analyse par un très grand nombre de courbes pour arriver à la simple mesure pour une équation de lien proposée.
bott par exemple : ^ — = e-.
Supposons donnée la quadrature de la figure correspondant :i cette équation; la somme des a est donc donnée, donc celle des ba, et si
l'on pose ba = o" , celle des o'- . On aura d'ailleurs a — y? d'où l'érjuation ■ ^z^ = c
De cette nouvelle courbo, par l'antre méthode que nous avons indiquée si souvent, ou en déduira une troisième. La somme des o- étant
, , bu ,., ,. ù"'ô^~b'°aonuee, posons -^ = e, on aura I équation = = ir.
C'est la troisième courbe où l'on aura la somme des o, et par conséquent des u. Mais si la somme des a est donnée, on aura, d'après la première méthode, celle des produits bu. Soit bu =j'S d'où y- ~- u.
donnée la somme des y'^. Par la méthode ordinaire, déduisons-en une autre; soit — =o; achevant les calculs suivant les règles de l'analyse, /('/'/- — b-''y'^ = i'", cinquième courbe où sera donnée la somme des y, donc celle des/".
Maintenant, par ia méthode contraire, déjà souvent employée, clier-
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chons une autre courbe où l'on connaisse la somme dos carrés des ordonnées; soit -.- =j (car à défaut de voyelles rien n'empêche de reprendre celles qui ont déjà été employées), on aura b''a'' — 0"= //'i', sixiome courbe oii la somme des î* est donnée.
Ramenons aux racines par la méthode connue et déjà employée plusieurs fois; soit i'^ = be; on aura la somme dos be donnée, et une septième courbe &-«' — a* = èV-, où la somme des e est donnée. donc celle des a.
De là on en déduira une autre, où la somme des carrés des ordonnées sera donnée.
Posons, d'après la méthode, ^ =r, d'oii h'-a'' — a'^ r= h^a-o'-. Divisant tous les termes par a", il vient b'^a" — a* = b^o'-, équation d'une huitième courbe où la somme des a^ est donnée. Ayant la somme des a^, on peut déduire enfin une autre courbe où l'on ait la somme des ordonnées. Soit a^ = bu, on aura bu ~u- =^0- , dernière équation qui donne «ne neuvième courbe, où la somme des u est donnée. Mais cette dernière courbe est évidemment un cercle et la somme des u n'y est donnée qu'en supposant la quadrature du cercle. Donc, en remontant à l'équation de la première courbe, la quadrature en sera donnée si l'on suppose celle de la dernière courbe ou du cercle.
Nous avons ainsi employé neuf courbes dilférenles pour arriver à la connaissance de la première.
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338 (EUVUES DE FERMAT. [?8,->, ïSKi
FRAGMENT SUK LA CISSOIDE.
Soit ia cissoïdc EAPS (y?^. 149) dans lo demi-cercle LVABE, dont H est le centre, LE le diamètre, HA le ravoii perpendiculaire au diamètre; soitLR la droite perpendiculaire au diamètre et asymptote de la cissoïde.
.11! (lis que Taire comprise entre KL, la cissoïde EAPS et son ;isyinptotc LB prolongées indélinimcnt est triple du demi-cercle LAE, Si donc on fait ia même construction dans l'autre moitié du cercle, l'ensemble des deux aires, dont E formera le point saillant,, sera égal au triple du cercle total.
La démonstration, loin d'être pénible, est assez élégante.
Je prends sur le diamètre deux points I, G quelconques, mais de part et d'autre du centre et ii même distance; on aura donc ill = HC, et par suite LI = GE. En I et G j'élève des perpendiculaires qui rencontreront la cissoïde aux points P, Y, le cercle aux points V et U. Par ces derniers points. V, B, je mène les rayons HV, HB el les tan-
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[Î8G, 288] MKTIIODE DE QUADUATURE. 2:!;)
gentcs VM, BD, qui rencontreront le diamètre en M, D. Au delà de I, je prends une très petite longueur IK arbitraire, et au delà de G. GF = IK; en K et F, j'élève au diamètre les perpendiculaires KN, FC qui rencontreront les tangentes aux points N, G, desquels j'abaisHerai sur les droites VI, BG les pevpendiculaires NO, CQ.
Cela fait, il est clair que l'aire de la cissoîde est égale à la somme de tous les rectangles PI x IK et YG x GF que l'on peut construire de la sorte; ces rectangles ont des bases égales. Kl = GF, et leurs hauteurs sont les ordonnées à angle droit de la cissoîde. Mais, d'après la propriété de cette courbe, jif =' n-j; d'autre par(, IE = IHh-HE= 1H-kIIV;
Hl + HV "" NV+VO' NV
IP X IK = JE X î\\" ^ lE X VO.
D'un autre coté, d'après la propriété de la cissoîde, '^-^ = ^- Mais
GK = HE — HG =:HB — HG; donc ■■.,,- ^.-t-.a = yrr-- Mais, en raison tSiS — iKi (il
de la siiiiililLule des triangles, on aura aussi
BG QC GF
iTil — lt(i~ lîC — BQ !!C — BQ'
on en conclura que YG x GF = CE x lîC - GK x !ÎQ.
Jlais comme par construction HI ^HG et Kl = GF", on aura évidemment VN = BG et VO ~ BQ. Par conséi^uent, si l'on prend les deux rectangles correspondants,
PIxlK + YGxGF[^Yr, xIKl = IE X NV + GE X IîC[= LI x NV] -^ EE x VO -GE x BQ[--^GE x \U)];
mais
lE X xVV + Ll X XV - LE x NV,
et
llîx VO-GEx VO =IG x VO — '■-IH x VO -. aVX x VO;
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()f l;i sommn dus produits du diamètre EL par les segments VN des tangentes dans le quart de cerclo LVA représente le produit du diamètre par le quart de circonférence LVA, c'est-à-dire le double du demi-cercle LAE; d'autre part, la somme des rectangles aVXxVO ou. S! l'on mi^ne OZQ parallèle au diamètre, des rectangles 2VX x XZ l'eprésente le demi-cercle LAE.
Doue l'aire de la cissoïde qui est éijuivali-nte à la double série de ees rectangles vaut évidemment le Iriple du demi-eende.
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OBSERVATIONS SDR DIOPHANTE.
OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE
1 — Porismes de Bachel, Livre III, définition 6.
« Un triangle rectangle en nombres (c'est-à-dire l'ensemble de trois nombres rationcls «, b, c, liés par la relation : a^^ 6'+c=) est dit formé des deux nombres p et (/, si
Nous pouvons former un triangle avec trois nombres en progression arithmétique, en le composant, selon cette définition 6, avec le terme moyen et la différence de deux termes; car le produit des trois termes et de la différence sera égal à l'aire dudit triangle, et, par suite, si la différence est l'unité, l'aire du triangle sera représentée par le produit des trois termes.
