Diophante, III, i

« Résoudre : xj-i-j: -h y = □, jï -hy -h : = {J, z.r -i- ^ -\- .c ~ Q . »

Il y a dans Diophante un autre problème, V, 5, sur le même sujet (' ). Cependant on ne sait pas s'il a omis, tout en le connaissant, le problème suivant ou s'il n'en avait pas, plus probablement, donné la solution dans un de ses treize Livres :

Trouver trois carrés tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmenté de la somme des deux mêmes carrés, fasse un carré.

Je puis donner de ce problème des solutions en nombre indéfini . ¥a\ voici une, par exemple; les trois carrés : ^^^iË4, 1^21^, r g^tisfont à la condition proposée.

On peut d'ailleurs aller plus loin et étendre la question de Dio-

(') V, s, Diophante suppose que les inconnues du problème III, 17 sont des carrés ; il ajoute de plus les conditions : ^r + : = D, 7~ + j^ — □, z.v + j = □,

Hosted by

[293,294] OBSERVATIONS SUR DLOPHANTE. 243

pliante. Ainsi j'ai traité généralement le problème suivant et je puis en fournir des solutions en nombre indéfini :

Trouver quatre nombres tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmenté de la somme des deux mêmes nombres, fasse un, carré.

On cherchera, d'après V, 5, trois carrés tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmenté de ia somme des deux mêmes carrés. fasse un carré. Soient par exemple les trois carrés donnés par Diophan te :

— , —, ^; nous les prendrons pour les trois premiers nombres de 9 9 9

notre problème; soit x le quatrième ; en formant son produit avec chacun des précédents et en ajoutant la somme des deux facteurs, nous aurons

équation triple, que j'ai enseigné à traiter dans ma Note sur VI, 2i.