Commentaire de Bachet sur Diophante, III

Tout nombre premier, de la forme '|/i + i , est une seule fois l'hypolénuse d'un triangle rectangle; son carré l'est deux fois, son cube trois, son bicarré quatre, et ainsi de suite indéfiniment.

Le même nombre premier et son carré sont, d'une seule façon, somme de deux carrés; son cube et son bicarré le sont de deux façons ; sa cinquième et sa sixième puissance de trois façons, et ainsi de suite indéfiniment.

Si un nombre premier, qui soit la somme de deux carrés, est multiplié par un autre nombre premier, qui soit également la somme de deux carrés, leur produit sera, de deux façons différentes, somme de deux carrés; si le multiplicateur est le carré du second nombre premier, le produit sera somme de deux carrés de trois façons différentes; si le multiplicateur est le cube du second nombre premier, le

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2h\ ŒUVRES «E FERMAT. [294,2%]

produit sera somme de deux carres de quatre façons différentes, et ainsi de suite indéfiniment.

Il est, d'après cela, facile de déterminer de combien de façons différentes un nombre donné peut être hypoténuse d'un triangle rectangle.

On prendra tous les diviseurs premiers de ce nombre qui seront de la forme [\n~\-i; par exemple 5, ]3, 17.

Si le nombre donné est divisé par des puissances de ses facteurs premiers, il faut d'ailleurs prendre ces puissances au Heu du facteur simple; supposons par exemple que le nombre donné soit divisé par le cube de 5, parle carré de i3 et pai' 17 simplement.

On prendra les exposants de tous les facteurs, ii savoir : pour 5, l'exposant 3 du cube; pour i3, l'exposant 2 du carré; pour 17, l'unité simple.

On ordonnera, comme on voudra, Icsdils exposants; soit, par exemple, l'ordre 3.2. i.

On multipliera le premier par le second, on doublera et on ajoutera la somme du premier et du second; il vient 17. On multipliera 17 par le troisième, on doublera et on ajoutera la somme de 17 et du troisième; il vient 52, Le nombre donné sera bypoténuse de 52 triangles rectangles différents. Le procédé sera le même quel que soit le nombre des facteurs et quelles que soient leurs puissances.

Les autres nombres premiers, qui ne sont pas de la forme l\n -\- i, ainsi que leurs puissances, n'ajoutent ni ne diminuent rien au nombre qu'il s'agit de trouver.

Trouver un nombre premier qui soit hypoténuse d'autant de façons cjue l'on voudra.

Soit à trouver un nombre qui soit hypoténuse de sept façons dili'érentes.

Je double le nombre donné 7 ; il vient i4. J'ajoute r, ce qui fait lo. Je prends tous les diviseurs premiers de i5, qui sont 3 et 5. Je retranche l'unité de chacun d'eux, et je prends la moitié des restes; j'ai I et 2. Je prends maintenant autant de facteurs premiers que

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[20G, 397] OBSERVATIONS SUR DIOPIIANTE. 2'i5

j'ai ici de nombres distincts, à savoir deux, et je tniiltipiie entre eux ces facteurs premiers en les afFectant des exposants r et 2 ; pourvu que ces facteurs premiers soient de la forme 4"+ ', j'aurai ainsi (on multipliant l'un par le carré de l'autre) nn nombre satisfaisant à la question proposée.

Il est dés lors facile de trouver le nombre minimum qui soit hypoténuse d'autant de façons que l'on voudra.

Trouver un nombre 'qui soit somme de deux carrés d'autant de façons que- l'on voudra.

Soit proposé de 10 façons; je prends tous les facteurs premiers du double 20 : j'ai 2.2,5. De chacun de ces nombres je retranche l'unité; il vient T. 1.4. J'aurai en conséquence à prendre trois nombres premiers de la forme f\n-hi, par exemple, les nombres 5, i3, 17; à cause de l'exposant [\, je prendrai la quatrième puissance de l'un de ces nombres, je la multiplierai par les deux autres, et j'aurai ainsi le nombre cherché.

Il est d'après cela facile de trouver le nombre minimum qui soit somme de deux carrés d'autant de façons qu'on le voudra.

Pour reconnaître de combien de façons différentes un nombre donné est somme de deux carrés, voici la méthode.

Soit proposé le nombre 325. Ses diviseurs premiers, de la forme 4rt-i- I, sont : 5 par son carré, i3 simplement. Je prends les exposants : 2. I. J'ajoute leur produit à leur somme, ce qui fait 5; j'ajoute l'unité, ce qui fait 6; je prends la moitié, 3. Le nombre donné sera somme de deux carrés de trois façons différentes.

Si l'on a trois exposants, par exemple : 2.2.1, voici comment on opérera. Je prends le produit des deux premiers et j'ajoute leur somme, ce qui fait 8. Je multiplie 8 par le troisième et j'ajoute la somme des facteurs, ce qui fait 17. J'ajoute enfin l'unité, ce qui fait 18, dont la moitié est 9. Le nombre proposé sera somme de deux carrés de neu/" façons différentes.

Si le dernier nombre dont on aurail à prendre la moitié se trouvait

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imjjair, on en retrancherait l'uniLé. et l'on prendrait la moitié du reste.

Le problème suivant peut encore être proposé : Trouver un nombre entier dont la somme avec un entier donne' fasse un carré et qui, d'autre part, soit l'hypoténuse d'autant de triangles rectangles que l'on voudra.

La question est difficile. Si, par exemple, on demande de trouver un nombre qui soit 2 fois hypoténuse, et qui, augmenté de '2, fasse un carré, 2023 est un nombre satisfaisant à ces conditions, et il y en a une infinité d'autres, comme 33G2, etc.