Commentaire de Bachet sur Diophante, IV

li 1. Pour l'csoudro : x'-^-j^— a' — /;■', on posera ,'■= -^ jj — li, y =a r — -j-^-

Pour que les deux nombres x,x soient positifs, il faut que l'on ait a'> ih'. j>

En réitérant l'opération, il est facile de s'affranchir de la condition et de résoudre généralement aussi bien cette question que les suivantes, ce que n'ont pu faire ni Bachet, ni Viète lui-même.

Soient donnés les deux cubes G4 et 1 23 ; on en demande deux autres dont la somme soit égale à la différence des deux cubes donnés.

D'après le procédé donné par Bachet pour son problème 3, page suivante, on cherchera deux autres cubes dont la différence soit égale à

celle des deux donnés. Bachet a donné ces deux cubei

aSa 993 ,

,47 la différence des

deux cubes donnes ; mais, après les avoir trouvés par l'opération indiquée pour le problème 3, comme le double du moindre ne dépasse pas le plus grand, on peut les transporter dans les données du problème 1.

On aura ainsi deux cubes donnés, et on en cherchera deux autres dont la somme soit égale à la différence des donnés; la condition indiquée pour le problème 1 étant satisfaite, la solution s'obtiendra sans difficulté. Mais la différence des deux cubes trouves par le problème 3

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l'aa.299] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 2-W

est égale à la difrérence des deux cubes primitivement donnes 6'| et 125; ainsi rien n'empêche de construire deux cubes dont la somme soit égale à la différence des donnés 64 et 123, ce qui sans doute étonnerait Bachet lui-même.

Bien plus, si l'on passe circulairement par les trois problèmes et qu'on réitère indéfiniment les opérations, on aura une infinité de couples de cubes satisfaisant à la même condition; en effet, après avoir trouvé en dernier Heu nos deux cubes dont la somme soit égale à la différence des donnés, nous pouvons (problème 2) en chercher deux autres dont la différence soit égale à la somme de nos deux cubes, c'est-à-dire à la différence de ceux primitivement donnés; de la différence nous repasserons à la somme et ainsi de suite indéfiniment.