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3. Pour résoudre : a;3 j3 a^—b^ on posera .f.— -;■ — -n — b, r = —, n — "-

Pour qaçx etj- soient positifs, il faut que a^<,i.b^. v

La condition, imposée pour la solution de ce problème 3, n'est pas légitime, ainsi que je le montrerai en opérant comme pour le problème 1.

Bien plus, d'après ce qui précède, je résoudrai heureusement le problème suivant, dont Bachet a ignoré la solution :

Partager un nombre, somme de deux cubes, en deux autres cubes, et cela d'une infinité de façons, en répétant continuellement les opérations, comme je l'ai indiqué ci-dessus.

Ainsi soit à trouver deux cubes dont la somme soit égale ii celle des deux cubes 8 et i. Je chercherai d'abord (problème 2) deux cubes dont la différence soit égale à la somme des donnés; je trouverai -^^ et -^rx' Comme le double du moindre dépasse le plus grand, on est ramené au problème 3, d'où l'on passera au problème 1, et on aura dès lors la solution.

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2^8 ŒUVRES DE FERMAT. fî99, 300]

Si l'on en veut une seconde, on repassera par le problème 2 et

ainsi de suile.

Pour montrer que la conJition posée par le problème 3 n'est pas

légitime, soit à trouver, étant donnés les deux cubes 8 et i, deux

autres cubes dont la différence soit égale à celle des donnés.

Bachel dirait, sans doute, que le problème est impossible ; je n'en ai

pas moins trouvé, par ma méthode, les deux suivants dont la diffé-

rence est 7 = 8 — i. Ces deux cubes sont —r. — ^tû — ^^ c — ïttô — '

fit leurs racines sont —^^ et — ô^-

10. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, H. n B.icdET : nésoudre '■ — '-^ = n, on supposant quo n soil ilus formes p'^ on ^ p"-. »

Cette condition doit être complétée de la façon que j'ai indiquée plus loin pour celle du problème suivant [Obs. 12]. Il n'y a pas à s'étonner que Bachet n'ait pas aperçu la méthode générale, qui est réellement difïïcile; mais il aurait au moins dû avertir le lecteur que

celle qu'il donne est seulement particulière.

11, - Biophante, IV, 12.

Si l'on cherche deux bicarrés dont la différence soit égale à celle de leurs racines, on pourra résoudre la question en employant l'artiticc de ma méthode.

Qu'on cherche, en effet, deux bicarrés dont la différence soit un cube, et tels que la dififérence de leurs racines soit i. On trouvera, par la première opération, les racines — — et — ■ Le premier de ces deux nombres étant affecté du signe —, on réitérera l'opération suivant ma méthode, en égalant la première racine à .-c — -, la

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[301,303] OBSERVATIONS SUR DiOPlUNTE. 2W

seconde à ^ -i- — . et l'on obtiendra ainsi des nombres positifs satisfaisant au problème.