IL- Diophante, IV

« Uéaoodre : .r,-^.ri-hx, — O , .c^ — j^^— □ , j.'^ — .i-a = n , J-| — j:i = □ . »

Le mode de raisonnement que j'ai employé pour la précédente question permet de résoudre également celle-ci et de l'étendre à autant de nombres que l'on voudra.

t:i. — Diophante, IV, 20.

« Résoudre ; j:,^i-ï- 1 = D , .'Cî.'.'s-m = □ , .Ti.ti + i = □ . «

Soit proposé de trouver trois nombres tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmenté de l'unité, fasse un carré, et que, de plus, chacun do ces trois nombres eux-mêmes, augmenté de l'unité, fasse un carré.

J'ajouterai une solution de cette question, qui a déjà été traitée.

Soit une solution indéterminée du présent problème de Diophante, choisie de telle sorte que, pour x, et j:^, les termes indépendants de .■V, augmentés chacun d'une unité, fassent dos carrés. Soient, par exemple, les trois nombres indéterminés :

Il est clair qu'ils fournissent une solution de ce problème IV, "20; il faut de plus maintenant satisfaire aux conditions

c'est-à-dire à une triple équation, qu'il sera facile de résoudre par ma méthode, le terme indépendant de a;, après l'addition de l'unité, se trouvant carré dans chacune des expressions.

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1303, 3Ui] OBSERVATIONS SOR DIOPIIANTE. 251

K). — Diophante, IV, 21.

n Résoudre : .r, j-ï-4-l= n , .'^,.f^ + i = D - ^,.n-hi= D , x,.vs-ht^ D . ^■-!.i;,-hi= D ,

Cherchez il'abord trois nombres tels que le produit tic deux quelconques d'entre eux, augmenté de l'unité, fasse un carré; soient, par exemple, les nombres 3, i, 8.

Cherchez maintenant un quatrième nombre tel que son produit par chacun des trois nombres déjà trouvés fasse un carré après addili(m de l'unité. Soit. t ce nombre; on aura

triple équation dont la solution s'obtiendra par la méthode que j'ai inventée. Voir ma Note sur le problème VI, 24.