DiophantB, IV

il iiésouilre : .'C].CiJ^j-l--ci — n , ■'.'i.i'i.t's-^.i'a ~ □ , .'.■i.ri.cs-i- ,^3= □ . 11

Ce problème peut se résoudre non seulement sans le lemrae deDiopbante, mais même sans double équation.

Posons

nous satisferons à deux des conditions du jiroblème.

Pour obtenir ce,, il faut maintenant diviser x^x.^œ.j, c'esi-à-din- .r- — 237, par x,x^, c'est-à-dire 2j:; il viendra a:.^ = -;X — ï, et, en l'ajoulsnt hx,x.,x.j, nous aurons

Il faut d'ailleurs que la valeur de x dépasse 2, en raison des positions déjà faites; on formera donc la racine du carré n, en relrancbanl

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232 ŒUVRES DE FERMAT. îm, MB]

dp X un nombre arbitrairement choisi qui soil plus grand que 2. Le l'fisie est évident.

18, — Commentaire de Bachet sur IT, 31.

« liARHET (proposition empirique) : Tout nombre est soit carré, soit somme tlo y, 3 on 4 carrés entiers. 0

Bien plus, il y a une proposition très belle et tout à fait générale que j'ai été le premier à découvrir :

Tout nombre est : soit triangle, soit somme de 1 on $ triangles;

Soit carré, soit somme de 2, 3 ou 4 carrés ;

Soit pentagone, soit somme de a, 3, 4 ou 5 pentagones ; et ainsi de suite indéfiniment, qu'il s'agisse d'hexagones, d'heptagones ou de polygones quelconques; cette merveilleuse proposition pouvant s'énoncer en général en raison du nombre des angles.

Je ne puis en donner ici la démonstration, qui dépend de nombreux et abstrus mystères de la Science des nombres; j'ai l'intention de consacrer à ce sujet un Livre entier et de faire accomplir ainsi à cette partie de l'Arithmétique des progrès étonnants au delà des bornes anciennement connues.