Commentaire de Bachet sur Diophante, V, li

<i Sur les conditions imposées au choix du nombre donné « poar la posslljililc du problème :

La condition posée par Bachet n'est, elle-même, pas satisfaisante; bien plus, il n'a pas fait ses essais avec assez de soin, car sa règle n'exclut pas le nombre 37, qui ne peut cependant être pris. Voici comment on doit concevoir la véritable condition : Prenons deux progressions géométriques suivant la raison f\, ei dont les premiers termes soient i et 8; superposons-cn les termes comme suit :

:, 4, 16, 6], 206, 1024. /1096, cLc, 8, :-ia, ia8, 3i2, 204S, 8192, 33768, elc.

Je considère d'abord le premier terme de la seconde progression, 8 ; il faut que le nombre donné ne soit ni le double de i (terme superposé à 8), ni égal à la somme d'un multiple de 8 et du double do i.

Je considère en second lieu le second terme de la seconde progression, 32, et je prends le double du terme 4 superposé; j'ajoute à ce double, 8, la somme des termes qui précèdent dans la même progression, celle du dessus (dans ce cas, cette somme se réduit à l'unité); j'ai ainsi 9.

Prenant donc les nombres Zi et 9, je dis que le nombre donné ne doit être ni 9, ni la somme de g et d'un multiple de 3?.,

Je considère maintenant le troisième terme de la seconde progression, 128; je prends le double, 32, du nombre 16 superposé; j'ajoute la somme des termes antécédents dans la même progression du haul, c'est-à-dire i et4; j'ai37. Prenant donc les deux nombres 128 et 37, je dis que le nombre donné ne doit être ni 37, ni la somme de 37 et d'un multiple de 128.

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Je considore encore le quatrième terme de la seconde progression; le même procédé me donne les nomlircs 5i2 et t^Q. Il faudra donc que le nombre donné ne soit ni 149- î^i 'j" somme de 149 et d'un multiple de 5i2.

Voilà la méthode uniforme dont l'application doit se poursuivre indéfmimenlj et qui n'a pas été indiquée par Diophantc dans sa généralité, ni reconnue par Bachet lui-même; les essais de ce dernier ont même été fautifs, non seulement pour le nombre 37, comme je l'ai déjà indiqué, mais aussi pour 149 et les autres, qui tombent également dans les limites des essais qu'il déclare avoir faits [jusqu'à 325].

'iH. — Diophante, V, 19.

'( Résoudre :

(.Ti-h Xi-i- x^y ~ .]:,= al, (ji:i-h x-i-i- 3:3)^— Xi— ï^ , (.i:,-h j:^-!- .1:^)' — a:^— a^. i>

Ou bien le texte grec est corrompu, ou bien Diophante n'a pas exprimé le moyen par lequel il a obtenu sa solution. Bachet croit qu'il a été aidé par le hasard, ce que je n'admets guère, car je pense qne sa méthode n'est pas difficile à retrouver.

Il s'agit de trouver un carré plus grand que 2, mais plus petit que 3, et dont la différence avec 3 se partage en trois cubes (').

Prenons, pour racine du carré cherché, une expression composée d'un terme en x et de — i, par exemple : ^ — i. Si je retranche de 3 le carré de cette expression , il reste : -2 -j~ ^x — x^, qu'il s'agit de décomposer en une somme de trois cubes de façon que l'équation se réduise h deux termes de degré consécutif.

On peut y arriver d'une infinité de façons : soit 1 — i;c la racine de l'un des cubes; pour celle du second, prenons i-i-a;, afin que la

(') Si, d'après la marclio de Diophanle, on pose x^^-^ s^^-k- x^= z, a\— —■ , 02= —•

ïi=— , on arrive à la condition s'(3- — ■ ) = 1 . Diophante suppose

HH \ <n{ in\ mil ^ ^^

— j -!- - 3 -I 5 < '; le carré — doil donc salisfaire aux conditions indiquées par