Diophante, V

8 Trouver troia carrés tels que le produit des trois, plus l'un quelconque d'entre eux, fasse un carré. Le problème est ramené à trouver trois triangles rectangles tels que îe rapport du produit des bases au produit des hauteurs soit carré- »

Voici comment je restitue et j'explique la méthode de Diophante, qui n'a pas été comprise par Bachet.

Ayant pris comme premier triangle : 3, l\, 5, pour lequel le produit des côtés de l'angle droit est 12, Diophante dit : n On est ramené à chercher deux triangles tels que le produit des cotés de l'angle droit

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2G0 Œi;VRKS Ï)V. TEUMAT. [319, 3^01

de l'un soit 12 fois le produit des cotés de l'iingie droit de l'autre. " La raison en est que si l'on multiplie entre eux ces deux produits, on aura un nombre plan semblable à 12, et que dès lors, en multipliant ce dernier nombre par 12, ou aura uu carré, ce que demande le problème proposé.

Diophante continue : « Or l'aire de l'un de ces triangles sera 12 fois celle de l'autre », ce qui est évident de soi-même. « Mais au lieu de 12 fois, on peut prendre 3 fois » ; en effet, 3 étant le quotient de 12 par le carré 4, la multiplication générale des bases et des hauteurs donnera toujours un carré, puisque, si l'on divise un carré par un carré, le quotient est encore un carré.

La suite du texte de Diophante ne donne pas la solution cherchée, mais je la restituerai comme suit ;

Dans le cas proposé, on formera l'un des deux triangles des nombres 7 et 2, l'autre des nombres 5 et 2. Le premier triangle aura son aire triple de celle du second, et leur couple satisfera à la question.

Au reste, pour trouver deux triangles rectangles dont l'aire soit dans un rapport donné, voici la règle générale.

Soit - le rapport donné, en supposant /■>5. On formera le plus grand triangle des nombres 'ir + s et /■ — s, le plus petit des nombres r-h "îs et r ~ s.

On peut encore former les doux triangles des manii^res suivantes :

Le premier de 2r — s et r -1- i, le second de 25 — /- et r h- s;

Le premier de G/- et ir — s, le second de \r-h s el[\r — 2î;

Le premier de r -\- \s et ir — 45, le second de Gj et/-— -îs.

On peut déduire de ce qui précède une méthode pour trouver trois triangles rectangles dont les aires soient proportionnelles à trois nombres donnés, pourvu que la somme de deux de ces nombres soit quadruple du troisième.

Soient donnés, par exemple, les nombres r, s, l, et supposons /■-!-/ =1 4i. On formera les trois triangles comme suit : le premier de '■ H- '1* et 2/' — \s, le second de 6,9 et r ■- is, le troisième di; 4.^ -i- t cf \s - 'j.l. (J'ai admis /■>/.)

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[m, m] ORSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 2G1

On peut également en tirer un moyen tie trouver trois triaugles rectangles en nombres, tels que leurs aires forment an triangle reetangle.

On ramènera en effet la question à trouver un triangle pour lequel la somme de la base et de l'hypoténuse soit quadruple de la hauteur. Ce problème est facile, et le triangle cherché sera semblable au suivant : 17, i5, 8. Quant aux trois triangles, les nombres générateurs seront : pour le premier, .'19 et 2; pour le second, /\-- et 2; pour le troisième, 48 et i.

Enfin on aura également le moyen de trouver trois triangles doni les aires soient proportionnelles à trois carrés donnés, en supposant que la somme de deux de ces carrés soit quadruple du troisième. On pourra aussi trouver de même trois triangles ayant leurs aires égales ; enfin nous pouvons construire d'une infinité de façons deux triangles rectangles, ayant leurs aires dans un rapport donné, en multipliant l'un des termes du rapport ou les deux termes par des carrés donnés, etc.

'.)[). — Diophante, V, 25,

K Trouver trois carrés, Lels que, ie [irocliiil des trois, moins l'u» quelconque d'entre eux. fusse uD carré. Le problème est ramené à iroviver trois triangles rectangles tels que le rapport du produit des hypoténuses au produit des hauteurs soit carré. »

De même que pour le précédent, Bachet a traité ce problème en laissant de côté la méthode de Diophante, qui reste donc à éclaircir el à expliquer. Il s'agit à cet effet de trouver deux triangles rectangles tels que le produit de l'hypoténuse et de la base dans l'un de ces triangles soit dans un rapport donné avec le même produit pour l'autre triangle.

Cette question m'a longtemps tourmenté, el quiconque essayera de la résoudre pourra reconnaître qu'elle est vraiment difficile; j'ai enfin découvert une méthode pour la solution générale.

Soit à chercher deux triangles tels que le produit de l'hypoténuse par la hauteur, dans l'un de ces triangles, soit double du même produit dans l'autre.

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262 ŒUVRES DE FERMAT. [3;^, 355] Soient a et h les nombres générateurs de l'un dos Iriaiigics, a et d

ceux de l'autre.

Pour le premier, le produit de l'hypoténuse et de la hauteur sera

2 ha* 4- 2 6* « ;

Pour le second, le même produit sera nda^-^ id'a. On demande

que le premier de ces produits soit double du second : par consé-

queiii

lia?' -\- /;'(/=; 2 da^ + a d'-a.

Divisant tous les ternies par a,

transposant :

.)fB— b^=ba-'—ida--.

Pour résoudre la question, il faut donc que le quotient de id' — 6* par b — id soit un carré.

Il s'agit par suite de trouver deux nombres, b et d, tels que l'excès du double du cube de l'un sur le cube de l'autre donne un carré, si on le divise ou si on le multiplie (car cela revient au même) par l'excès du double du second sur le premier.

Soient a; -h i l'un de ces nombres et i l'autre. L'excès du double du cube du premier sur le cube du second est i -h G^t; -h <:yx' + nx^ ; l'excès du double du second nombre sur le premier est i — -r. Le produit de r -H 6a; 4- 6a;- H- aa;' par i — œ doit être un carré. Or ce produit est t + 5a; — 4^' — 2a;\ qu'on peut égaler au carré de \^\x — ^x-. Le reste n'offre plus de difficulté.

Pour étendre cette méthode au cas d'un rapport quelconque, il suffira de prendre, pour l'un des nombres, la somme de x et de l'excès du plus grand terme du rapport sur le moindre; pour l'autre nombre, ce même excès; c'est ce que nous avons fait au reste pour le rapport de 2 à I . De cette façon en effet le terme indépendant de x dans le produit final sera un carré, et l'équation pourra se traiter facilement; sa solution conduira à deux nombres représentant b et d et l'on remontera ainsi au problème primitif.

En revoyant ce que j'ai écrit ci-dessus sur cette question de Dio-

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[325,326] OBSERVATIONS SUR DIOPHANÏE. 263

phante, j'ai été sur le point de tout effacer parce qu'en réalité ce n'est pas elle qui se ramène au problème dont j'ai exposé la solution ; cependant, si je me suis trompé en réduisant une question à une autre, cette dernière n'en est pas moins valablement résolue; mon travail a donc été plutôt mal placé que perdu et je laisse tel quel ce que j'ai écrit dans la marge.

Quant à la question même de Diophante, je l'ai soumise à un nouvel examen et en employant toutes les ressources de ma méthode, j'ai enfin obtenu la solution générale; toutefois je ne vais donner qu'un exemple, dont les nombres montreront suffisamment par eux-mêmes que ce n'est point le hasard, mais une méthode régulière qui a permis de les trouver.

Diophante propose en fait de chercher deux triangles rectangles, tels que le produit de l'hypoténuse par la hauteur pour le premier soit au même produit pour le second dans le rapport de 5 à r.

Voici deux triangles satisfaisant à

Premier triaDgle. Second triangle.

Hypoténuses 48 543 669 109, 4^ G^GyâagSS,

Bases 36 o83 779 Sog, 41 990 69S 480,

Hauteurs 32 47* 275 58o, 7 894 200 o38.