Diophante, V

Grâce à ce problème, nous obtenons la solution d'une question qui, autrement, paraîtrait très difficile : Etant donné un nombre, en trouver quatre tels que leurs sommes deux à deux, augmentées du nombre donné, fassent des carrés.

Soit donné le nombre i5; on commencera par chercher, d'après la solution de Diophante, trois carrés tels que leurs sommes deux à deux,. augmentées du nombre donné, fassent des carrés. Soient 9, -j^, |j| ces trois carrés; on prendra, pour le premier des quatre nombres. cherchés : a;"— i5; pour le second : 6:c + 9 (9 étant l'un des carré* trouvés et 6, coefTicient deir, le double de la racine de ce carré); d'a-

Hosted by

i(y* ŒUVRES DE FERMAT. [326,327]

]H'ès le même procédé, on prendra pour le troisième nombre : 5^ "•" rïï> ^t poui" le quatrième : ^œ -+- 1^.

Grâce à ces positions, on satisfait à trois des conditions de l'énoncé; eai' si l'on fait la somme du premier nombre et de l'un quelconque lies ti'ois suivants, et que l'on ajoute i5, on a un carré.

11 faut encore qu'on ait des carrés en ajoutant i5 soit à la somme du second et du troisième, soit à celle du troisième et du quatrième, soit à celle du second et du quatrième. Nous aurons ainsi une triple équation, qui sera facile à traiter, parce que, grâce à la construction dont nous avons emprunté l'artifice au problème de Diophante, dans chacune des expressions k égaler h un carré, le terme constant sera un carré, et qu'il n'y aura en outre qu'un terme en œ. Voir à ce sujet ce que j'ai dit sur le problème VI, 24.

32, — Diophante, V, 31.

Un artifice analogue à celui que nous avons employé sur la précédente question, pour trouver quatre nombres tels que leurs sommes deux à deux, augmentées d'un nombre donné, fassent des carrés, peut servir pour passer de la présente question de Diophante à la recherche de quatre nombres tels que leurs sommes deux à deux, diminuées d'un nombre donné, fassent des carrés.

On prendra pour le premier nombre : a7*+ le nombre donné; pour le second, on ajoutera le premier carré trouvé d'après Diophante à un terme en x ayant pour coefficient le double de la racine de ce carré; etc. Le reste est évident.

'Si. — Diophante, V, 32.

Pourquoi ne cherchc-t-il pas deux bicarrés dont la somme soit un carré? C'est que ce problème est impossible, comme notre méthode do démonstration peut le mettre hors de doute.

Hosted by

[327,320] OBSEKVATIONS SUR DIOI'HANTE. 265

34, — Diophante, VI, 3.

11 Trouver on triangle rectangle en nombres, dont l'aire, augmeiitco d'nn nombre donni5, fasse un (iarré. » — Vièle avait supposé à tort, comme le remarque Bachet, que le nombre donné devait être la somme de deux carrés. Dans les problêmes suivants, l'aire doit êlro diminuée ou retranchée d'un nombre donné.

Voici sans doute l'origine de l'erreur de Viète : cet illustre savani aura égalé l'aire à la différence de deux bicarrés ('), comme a^' ^ t. pour en faire un carré, en y ajoutant le quintuple d'un carré, 5 étant le nombre donné.

Ce dernier nombre étant somme de deux carrés, on peut en effet trouver un carré, dont le quintuple, diminué d'une unité, fasse un carré. Prenons pour racine de ce carré à quintupler ^ -i- i (le coefficient de œ pourrait être pris différent de l'unité); le quintuple du carré sera Bx--h ioj;-i-5; en ajoutant l'aire, ic'— i, on a la somme x''+5x^-h ïox-\-^, à égaler à un carré, ce qui est aisé, le terme indépendant de x étant carré, par suite de l'hypothèse ajoutée comme condition.

Mais Viète n'a pas vu que le problème peut se résoudre tout aussi bien en prenant pour l'aire, non pas x" — i, mais i — x''; car alors la question se ramène immédiatement à faire que le nombre donné, 5, G, ou tout autre quelconque, multiplié par nn carré, fasse un autre carré, après addition de l'unité; ce qui peut se résoudre très facilement et sans exception, puisque l'nnité est un carré.

J'ai résolu cette question, ainsi que les deux suivantes, par une méthode particulière, qui permet, si nous cherchons, par exemple, un triangle dont l'aire, augmentée de 5, fasse un carré, de donner un tel triangle en nombres minimi : |, —-, —-; l'aire est 20, et en ajoutant 5, donne le carré 20.

|i) C'est effectivement la marche que suit Diophante, et qui revient à supposer carré le rapport des deux nombres générateurs du triangle. La solution de Viète (Zeiei., V, 9) est présentée sous forme synthétique et correspond à une combinaison particulière : le nombre donné étant supposé de la forme j'^-i-*', il prend pour nombres générateurs

(r -i- sy cl (r — .t)5 et divise les côtés du triangle par ■^.<r-+-.r)(i'^sy.

l'ETlMAT.- m. 34

Hosted by

2G6 ŒUVRES DE FERMAT. ['li-îO, 3;ii |

Mais ce n"c!sl pas ici la placo de liovclopper lo principe et l'emploi de cette méthode; la marge n'y sulfirait pas, car j'aurais bien dos choses à dire à ce sujet.

" Trouver un U-iangle rectangle, tel que l'iiiro, augmemiîe tie l'un des côtés de l'angle droit, fasse an nombre donné. »

Ce problème et les suivants peuvent être résolus autrement ;

Qu'on forme, pour celui-ci, un triangle avec le nombre donné et l'unité, et qu'on divise les côtés par la somme du nombre donné et de l'unité, les quotients constitueroiit le triangle cherché.

UG. — Diophante, VI, 7.

» Trouver un triangle rectangle, loi que l'aire, diminuée do l'un des eôtés do l'atiijlc droit, fasse un nombre donné. »

Qu'on forme un triangle avec le nombre donné et l'unité, et qu'on divise les côtés par la différence du nombre donné et de l'unité, on aura le triangle cherché.

Au reste, cette question est susceptible d'une infinité de solutions, par le procédé qui nous permet d'en trouver indéfiniment aux doubles équations de cette sorte ; j'ai indiqué plus bas l'emploi de ce procédé, sur la question 24.

Bien plus, on aura de même une infinité de solutions pour les quatre questions suivantes, ce qui n'a été reconnu ni par Diophante, ni par Bachet. Mais pourquoi ni l'un ni l'autre n'ont-ils pas ajouté le problème que voici î

Trouver un triangle reclangle, tels que l'un des côtés de l'angle droit, diiïdnué de l'aire, fasse un nombre donné.

Us semblent bien n'en avoir pas connu la solution, parce qu'eibi n'est pas immédiatement fournie par la double équation ; cependant on peut la trouver aisément avec notre méthode.

Ce troisième cas peut être de même ajouté aux questions suivantes.

Hosted by

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE

;j7. — Diophante, VI, 8 et 9.

" Trouver ud triangle reclanglo, tel que l'aire, aiigmGntye (dimiiméo)de la somme des côtés de l'angle droit, fasse un nombre donné. »

Avec notre méthode, on peut ajouter le problèmi; que voici :

Trouver un triangle rectangle tel que la somme des côtés de l'a/iglc droit, diminuée de l'aire, fasse un nombre donné.