LIVRE I

Ce que sont les lieux plans est chose bien connue; ce sujet fut traité en deux livres par Apollonius, au témoignage de Pappus qui, au début de son Livre VII, en donne les diverses propositions, mais dans un langage passablement obscur ou du moins mal compris du traducteur (il ne m'a pas été possible d'examiner le manuscrit grec). C'est cette théorie, la plus belle, semble-t-il, de toute la Géométrie, que nous arrachons à l'oubli, pour opposer fièrement Apollonius traitant des Lieux plans, aux Apollonius français, bataves et illyriens; car nous avons la cootiance assurée qu'il n'y a pas d'ouvrage où resplendissent plus vivement les merveilles de la Géométrie; pour le faire avoui'r aussitôt, je commence immédiatement.

Les propositions du Livre I sont les suivantes :

<( Si on mène deux lignes, soit d'un point donné, soit de deux, et soit en ligne droite, soit parallèles, soit sous un angle donné, enfin ayant

entre elles un rapport donné, ou comprenant un rectangle, donné; si l'extrémité de l'une est sur un lieu plan donné de position, l'extrémité de l'autre sera également sur un lieu plan donné de position , tantôt du même genre, tantôt d'un genre différent, tantôt situé de même par rapport à la ligne droite, tantôt de façon contraire. »

On peut facilement diviser cette proposition en huit autres et chacune de celles-ci en cas nombreux. Le défaut de ponctuation semble au reste avoir embarrassé le traducteur, et Pappus lui-même paraît être tombé dans l'obscurité par trop de concision. Voici comment nous éclaircissons le tout, par notre division en huit parties.

I . Pdoi'osiTios. — Si d'un point donné on mène en ligne droite deux lignes dans un rapport donné, et que l'extrémité de l'une se trouve sur un lieu plan donné de position (^c'est-à-dire une droite ou une circonférence de cercle donnée de position'), l'extrémité de l'autre sera sur une droite ou une circonférence de cercle donnée de position.

Soit A le point donné {/ig- i). par lequel on mène en ligne droite AB et AF dans un rapport donné. Soit par exemple le point B sur la

ligne droite ÏICUD donnée de position, je dis que le point F est aussi sur une droite donnée de position.

Du point A, j'abaisse sur la droite HD la perpendiculaire AC, le point C sera donné; je prolonge CA jusqu'en E, en prenant -r-p dans le rapport donné; AE sera donné, donc le point E. Par le point E je mène GEF parallèle à la droite HD; elle sera donnée de position et passera par le point F, car toutes les droites, passant par un point donné et coupant deux parallèles, sont divisées dans le mémo rapport.

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Il est donc claii" que toute droite passant par le point A et tcrminé(.' aux parallèles données de position sera partagée dans le rapport donné. Soient maintenant donnés le point B i^fig. 2) et le cercle ICN dont

leccntre est A. Menez liA qui coupe la circonférence en I, etprolonge/. IB suivant BE, en sorte que le rapport ^ soit égal au donné. Continuez le prolongement jusqu'en F en sorte que pp = ng' et de F comme centre, avec FE comme rayon, décrivez la circonférence A.\i cercle EDZ qui, d'après la construction, sera évidemment donnée de position. Je dis que toutes les droites passant par le point B et terminées de part et d'autre aux circonférences des cercles donnés de position seront partagées dans le rapport donné.

Soit menée par exemple CBD; joignez CA, DF, On a

Ilî Al , ]î\ AI(=AC)

jjg .- -^~, donc, par .omme. -^ .- gj^^,^^-

D'ailleurs les angles ABC, FBD opposés parle sommet sont égaux. Les triangles sont donc semblables et par conséquent