Diophante, VI, 10 et

n Trouver un triangle rectaagle, tel que l'aire, augmentée (diminuée) de la somme de l'hypoténuse et d'un des côtés de l'angle droit, tasso un nombre donné. »

Avec notre méthode, on peut ajouter le problème que voici :

Trouver un triangle rectangle tel que la somme de l' hypoténuse et de l'un des côtés de l'angle droit, diminuée de l'aire, fasse un nombre donné.

On ajoutera de même le suivaiK aux commentaires de liacliet (' ). Trouver un triangle rectangle tel que l'hypoténuse, diminuée de l'aire, fasse un nombre donné.

3fl. — Diophante, VI. 13.

Cl Trouver un' triangle rectangle, tel que l'aire, augmentée do l'un ou de l'autre des deux côtés de l'angle droit, fasse un carré dans les deux cas. »

Diophante ne donne, comme satisfaisant à ce problème, que des triangles d'une seule espèce; notre méthode fournit une Intinité de triangles d'espèces différentes, lesquelles dérivent successivement de la solution de Diophante.

Soit, en effet, déjà trouvé le triangle 3.4.5 satisfaisant à cette condition « que le produit des deux côtés de l'angle droit fasse un carré.

(') fl Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, augmentée (diminuée) de l'hypoténuse, fasse un nombre donné, y

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si on lui ajoute le produit du plus grand de ces deux côtés par leur différence et par l'aire du triangle ». Il s'agit d'en déduire un autre jouissant de la même propriété.

Soient 4 le plus grand côté de l'angle droit du triangle cherché et 3 -i-a; le plus petit. Le produit des deux côtés de l'angle droit, si on lui ajoute le produit du plus grand des deux côtés parleur différence et par l'aire du triangle, fera 36 — 12a: — 8x-, expression qu'il faut égaler à un carré. D'un autre côté, les côtés 4 et 3 + a; étant ceux de l'angle droit d'un triangle rectangle, la somme de leurs carrés doit faire un carré; or cette somme fait 25 + 6x ■+- x-, seconde expression qu'il faut aussi égaler à un carré.

On a donc une double équation, qu'il est facile de résoudre, savoir