Diophante, VI, H

« Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, diminuée de !'un ou do l'autre des deux côtés de l'angle droit, fasse un carré dans les deux cas. »

Avec notre méthode, on pourra résoudre la question suivante qui. autrement, est très difficile :

Trouver un triangle rectangle tel que chacun des deux côléx de l 'angle droit, diminué de l'aire, fasse un carré.

Â\. — Diophante, VI, 15 et 17.

« Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, diminuée (augmentée) soit de l'Iivpoténuse, soit de l'un des deux côtés de l'angle droit, fasse un carré, n

On peut, avec notre méthode, essayer la question suivante qui, autrement, est très difficile :

Trouver un triangle rectangle tel qu'en retranchant l'aire, soil de l'hypoténuse, soit de l'un des cotés de l'angle droit, on ait toujours un carré.

Hosted by

[333,335] OBSKIÎVATIONS SUR DIOPIIANTE. 2(i9

42, — DiophantB, VI, 19,

n Trouver un triangle reclangie: tel qiio le périmélro on soit un cnbe et cnio la somme de l'aire oL do l'iiypoténiise fasse un carré. » ... Il faut trouver un carré qui, augmenté de i, fasse un cube. . . . d

Peut-il y avoir, en nombres entiers, un autre carré que 25 qui, augmenté de 2, fasse un cube? Cela parait certainement au premier abord difficile à discuter; cependant, je puis prouver, par une démonstration rigoureuse, que 25 est bien ie seul carré entier qui soit inférieur h un cube de deux unités. En nombres fractionnaires, la méthode tic Bachet fournit une infinité de tels carrés, mais la théorie des nombres entiers, qui est très belle et très subtile, n'a pas été connue jusqu'à présent, ni par Bachet, ni par aucun auteur dont j'aie vu les écrits.

Â'-i. — Cammentaire de Bachet sur Diophante, VI, 24, 11 Co commentaire est consacré à la théorie de la double équaiion. »

Là OÙ ne suffisent pas les équations doubles ou ^K-û'kmiô'Zfyziç,, il faut recourir à des équations triples ou TptTuXotdÔT'/jTsç, découverte qui m'appartient et qui conduit à !a solution d'une foule de très beaux problèmes.

Soif, par exemple, à égaler à des carrés les expressions

a^ -1-4, 2.r -1-4, 5.r-i-4, il y a là une équation triple qu'il est aisé de résoudre par l'intermédiaire d'une équation double.

Si, en effet, on substitue à x une expression qui, augmentée tie i, fasse un carré, par exemple x--^^x, les trois expressions ci-dessus à égaler h des carrés deviendront

La première est un carré par construction; il reste donc à satisfaire aux conditions

Hosted by

rV'St-à-dire ii une équation double qui, à la vérité, ne fournira qu'une solution unique, mais de cette solution on pourra en tirer une autre. de cette seconde une troiaiiime, et ainsi de suite indéfiniment.

A cet effet, lorsqu'on aura trouvé une valeur pour œ, on substituera à iT le binôme formé de x plus la valeur qui vient d'être obtenue. Ce procédé fournira une infinité de solutions dérivant chacune de la précédente et venant s'ajouter aux antérieures.

C'est grâce à cette invention que nous pouvons donner une infinité de triangles de même aire, ce que Diophante semble n'avoir pas su faire, comme il ressort de son problème V, 8, où il cherche seulement trois triangles de même aire pour résoudre le problème suivant avec trois inconnues; mais cette dernière question, d'après la découverte (|ui m'est due, peut être étendue à un nombre indéfini d'inconnues.

4L — Même Commentaire.

A ce traité des équations doubles, nous pourrions faire de nombreuses additions sur des points ignorés des anciens et aussi bien des modernes. Mais il suffira, pour établir l'importance de notre méthode et en montrer l'usage, de résoudre ici la question suivante, dont la difficulté est incontestable.

Trouver un triangle rectangle en nombres, tel que l'hypoténuse soit un carré, aijisi que la somme des côtés de l'angle droit.

1-e triangle cherché est représenté par les trois nombres suivants :

et il est formé des deux nombres 2 i5o ç)o5 et 246 ji^'i.

J'ai, par une autre méthode, trouvé la solution de cette autre question :

Trouver un triangle rectangle en nombres, tel que le carré de la différence des côtés de l'angle droit, moins le double carré du plus petit de ces côtés, fasse un carré.

Hosted by

[337,340] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 27

Le triangle i J2:', lôiy, i56, formé des nombres 3() et 5, est un de ceux qui satisfont h la question.

J'ajoute d'ailleurs avec confiance que les deux triangles ci-dessus sont les petits eu nombres entiers qui satisfassent aux questions proposées.

Voici quelle est ma méthode : Cherchez, suivant le procédé ordinaire, la solution de la question proposée. Si, après l'achèvement des calculs, l'opération n'aboutit pas, parce que la valeur à donner à l'inconnue se trouve afiectée du signe ~ et doit être regardée comme plus petite que zéro, j'affirme hardiment qu'il ne faut pas désespérer et rester à bayer, comme dit Viète, mais comme il l'a fait après les anciens analystes; il faut au contraire essayer de nouveau la question en substituant à l'inconnue le binôme x moins le nombre trouvé dans la première opération comme valeur affectée du signe de soustraction. On aura ainsi une nouvelle équation qui conduira à une solution en nombres vrais.

C'est par ce moyen que j'ai résolu les deux questions ci-dessus; autrement elles sont très difficiles. J'ai de même montré qu'une somme de deux cubes peut être décomposée en deux autres cubes, et j'ai donné la construction qui peut nécessiter la réitération de l'opération jusqu'à trois fois ; il arrive en effet souvent que la vérité cherchée oblige l'analyste le plus habile et le plus industrieux à recommencer plusieurs fois le calcul, ainsi que l'expérience le fera aisément reconnaître,

4ri. — Problème 20 de Bachet sur Diophante, VI, 26.

« Bachet. ~ Trouver an triangle recton^'lo dont l'iiire soit un nombre donne. »

L'aire d'un triangle rectangle en nombres ne peut être un carré.

Je vais donner la démonstration de ce tbéorèmo que j'ai découvert; je ne l'ai pas trouvée au reste sans une pénible et laborieuse méditation; mais ce genre de démonstration conduira h des progrés merveilleux dans la science des nombres.

Hosted by

Si i'aire d'un triangle était un carré, il y aurait deux bicarrés dont la différence serait un carré; il s'ensuit qu'on aurait également deux carrés dont la somme et la différence seraient des carrés. Par conséquent, on aurait un nombre carré, somme d'un carré et du double d'un carré, avec la condition que la somme des deux carrés, qui servent à le composer, soit également un carré. Mais si un nombre carré est somme d'un carré et du double d'un carré, sa racine est également somme d'un carré et du double d'un carré, ce que je puis prouver sans difficulté. On conclura de là que cette racine est la somme des deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, dont l'un des carrés composants formera la base, et le double de l'autre carré la hauteur.

Ce triangle rectangle sera donc formé par deux nombres carrés, dont la somme et la différence serout des carrés. Mais on prouvera que la somme de ces deux carrés est plus petite que celle des deux premiers dont on a également supposé que la somme et la différence soient des carrés. Donc, si on donne deux carrés dont la somme et la différence soient des carrés, on donne par là même, en nombres entiers, deux carrés jouissant de la même propriété et dont la somme est inférieure.

Par le même raisonnement, on aura ensuite une autre somme plus petite que celle déduite de la première, et en continuant indéfiniment on trouvera toujours des nombres entiers de plus en plus petits satisfaisant aux mêmes conditions. Mais cela est impossible, puisqu'un nombre entier étant donné, il ne peuty avoir une infinité de nombres entiers qui soient plus petits.

La marge est trop étroite pour recevoir la démonstration complète et avec tous ses développements.

Par le même procédé, j'ai découvert et démontié qu'il n'y a aucun nombre triangulaire, sauf l'unité, qui soit un bicarré.

Hosted by

\m,m\ OBSKIiVATlONS SUH IHOI'HANTE. 273

il). — Commentaire de Bachet sur Diophante Nomb. polyg. 9. " Trouver un polygono, lo côlé on étant donné, ot invoreomonl.. »

Jo mettrai ici, sans démonstration, une proiiosition très liollc et trrs remarquable que j'ai découverte :

Dans la progression naturelle commentant à l'unité, le produit d'un nombre quelconque par le nombre immédiatement supérieur fait le double du triangle du premier nombre; si le multiplicateur esl le triangle du nombre immédiatement supérieur, on a le triple de la pyramide du premier nombre; si c'est la pyramide du nombre immédiatement supérieur, on a le quadruple du triangulotriangulaire du premier nombre; et ainsi de suite indéfiniment, suivant une règle uniforme et générale.

J'estime qu'on ne peut énoncer sur les nombres de théorème qui soit plus beau ou plus général. Je n'ai ni le temps ni la place d'en mettre la démonstration sur cette marge.

Al. — Bachet, Appendice, II, 27.

Voici comment j'énoncerai cette proposition d'une façon plus générale :

Dans toute progression constitutive de polygone, l'unité constitue la première coib/ïne; la somme des deux nombres suivants, diminuée du premier triangle multiplié par l'excès sur 4 du nombre des angles du polygone, forme la seconde colonne; la somme des trois nombres suivants, diminuée du second triangle multiplié par l'excès sur 4 du nombre des angles du polygone, forme la troisième colonne; et ainsi de suite indéfiniment, suivant la même loi (').

(') Soit la progression arithmétique comnionçant à l'unité, et de raison A — ->'.!. i^(ft-2), ■-i-2(A--^), ..., ,^(„,)(^^), n-«(A-2), ...: le »--poly-

Hosted by

ŒUVUES DE FKRMM'.

IS. — Bachet, Appendice, II, 31

il suit '.le là qui; ie pro<tait liu cuIki du plus Knind nuiiil)rc \{//<'i par le nombre des termes [n] ost plus petil ([uo le, ([lUidnipIc (If somme des cubos [S"(«a)^].

a sûiniLLO Jus '/ première fermes

S), dans la niâme progression, on dùsigne p,ir :i,,, Ipi — ^ iicnniifirs. on aiirn

Lias ioi's, 'i'iiprès Fermai, la m'''""' coloiiuc, terme qu'il a for.gÉ :

c,„ „ ,., „ a - 1 ) iïi^^' = ™ [« -^ ';il^;^li^î> j ;

c'ost ic produit par m du polygone ayant m pour côté.

En supposant A- = 4, la polygone ayant m pour côté devient le carré w', et la colonne C,„ = m*; on retrouve donc comme cas particulier le théorème énoncé par Bachet et qui o!ait déjà cnnnii dons l'iinliqnîté.

Hosted by

TRADUCTION