ŒUVUES DE FERMAT.— CORRESPONDANCE

poifls égaux également distants, d'une part, du centre de la Terre, d'autre part, du centre du levier ou de la balance, ne peuvejitdélruire l'équilibre.

Soient encore A le centre de la Terre {/ig- lO), KFliCD un levier en arc comme ci-dessus, de centre ou milieu B. Qu'on place un poids B en B, ou que, le divisant en poids égaux E, F, B, C, D, on place ces parties aux points E. F, B. C, D à des intervalles EF, FB, BC, CD

GT^fHS)

égaux, j'admets que le poids B, placé en B et supporté par ce point B, y pèsera autant que l'ensemble des parties E, F, B, C, D placées sur le levier suspendu en B.

Il en est ainsi parce que, EFItCD étant un arc de cercle, les parties du poids B sont toujours à la même distance du centre de la Terre que ie poids total B. L'erreur d'Archimède consiste à n'avoir pas fait r,efte remarque et à avoir supposé parallèles les lignes de chute des graves.

Ces suppositions faites, je puis démontrer ma proposition. Voici seulement le cas dans lequel le centre du levier est à la même distance (jue ses extrémités du centre do la Terre (ce cas ne suppose pas la vérité du principe du premier levier géoslatique, vérité que vons paraissez mettre en doute).

Soit FHN {fig. 17) un levier dont le centre H et les extrémités F. N sont à la même distance du centre de la Terre A. De A comme centre. avec AH pour rayon, je décris l'arc de cercle FHN qui relie les extrémités du levier. Si l'on a :: Poids F : Poids N::Are HN:Arc HF, je dis que le levier FHN, suspendu au point 11, restera en équilibre.

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[3i, 52] THADUCTION DES PIÈCES LATINES. nm

Il est clair que le rapport des arcs est le même que ceUii des atiglcs au neutre A; il vous sera facile, d'après la coiistrucLiou v.t les detix

axinmes qui prccèdont. d'arriver à la couclusiou du théorem(!.

(Lcltri! de rei'iiiat à Etii

1 Pascal et Robcrval. do ■'."! a

iG'jr.,)

4 \\iomt: I. — Si un grave en repos est suspeiiilu on nn point

quelconque, il pèse suivant la ligne droite qui joint le point de suspension au centre de la Terre. La vérité de cet axiome est évidente, car autrement le grave ne peut être en repos.

AxiOMK II. — Dans un levier en arc de cercle, suspendu par son milieu, si de part et d'autre du point de suspension et en des points à égale distance on place des graves égaux, le corps composé de tous ces graves et suspendu par son milieu restera en repos.

Axiome ÏU. — Dans un levier on arc df cercle, moindre qu'uni; demi-circonCérence et ayant pour centre celui de la Terre (ce qu'il faut toujours supposer dans mon levier), si le point de suspension divise inégalement le levier, et que de part et d'autre du point de suspension, sur les points d'une division du levier en parties égales, on place des graves égaux, le corps composé de tous ces graves ne demeurera pas en repos, mais s'inclinera du côté du plus grand bras. Ceci est évident, même dans vos hypothèses ; car, si le levier est plus petit que la demi-circonférence, le sinus du plus petit arc sera plus petit que le

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284 ŒUVRES DE FERMAT. — CORRESPONDANCE. [52. uS\

sinus du plus grand arc; vous ne nierez donc pas que l'inclinaison ne se fasse du côté du plus grand arc.

Cela supposé, représentons par une figure le levier DEG (/ig. 3o) et achevons la construction à l'exemple d'Archimède. Le grave en D, si on le divise en parties égales suivant les arcs lîC, CD, DE, EF, piisera toujours suivant la droite DN; car si D est le point de suspension, l'ensemble reste en repos (axiome IT); donc il pèse suivant DN (axiome I). Donc, soit que le grave soit tout entier en D, soit qu'il soit distribué également par parties sur les arcs IfC, CD, DE, EF, il pèse toujours suivant la même droite DN.

De même, le grave en G, qu'il soit tout entier en ce point., ou qu'il soit distribué par parties égales sur les arcs FG, GH, pèsera toujours suivant la droite GN. Mais, comme les graves disposés sur les arcs égaux BC, CD, DE, EF. FG, GH sont égaux, l'ensemble total pèsera suivant la droite EN; la conclusion s'ensuit évidemment, ou bien il est aisé de l'établir par une réduction à l'absurde, en se servant de l'axiome III.

Il est certain qo'Archimède a raisonné d'une façon tout à fait sem-

blable; cat- il prend, par exeinple. en C (Jig. 3c) le centre de gravité de la droite BD pour prouver que des graves égaux, situés en B, ]),

[à3, 64] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 28o

pèsent suivant la droite CN; mais l'hypothèse qu'il fait à cet égard n'est vraie que pour la balance DEF perpendiculaire ii la droite KN : elle est fausse pour les autres qui sont rencontrées sous des angles inégaux par les droites issues du centre de la Terre- Dans mon levier, cette difliculté ne se présente pas, puisque toujours et en tout poini la droite issue du centre de la Terre le rencontre normalement. Soient DCB une balance {fig. Sa), A le centre de la Terre, C celui

de la balance; décrivez le cercle de centre C et do rayon CB. Joignez DEA, BA, CFA et CE. Supposez en B et D des poids égaux, et soi! l'angle ACD plus grand que l'angle ACB; je dis que la balance, sï elle est suspendue au point C, s'inclinera du côté de B, et cela suivant les suppositions mêmes d'Archimède.

Transportons en effet le poids D en E; d'après Archimède, le poids agit toujours comme s'il était en D, puisqu'il reste sur la droite joignant le point D au centre de la Terre. Si donc on suppose qu'il est retenu en E par la droite CE, les bras CE et CB seront en équilibre, si l'on suppose que CB et CD soient en équilibre. Les angles ECF, FCB seront donc égaux, car un triangle isoscèle, aux extrémités duquel on place des poids égaux, doit se mouvoii" tant que la perpendiculaire à l'horizon, c'est-à-dire la droite qui joint le sommet au centre de la Terre, ne bissecte pas l'angle au sommet; c'est au reste ce dont témoigne l'expérience. Mais l'angle ECB est double de l'angle en D; donc l'angle FCB est égal à l'angle en D. Donc les droites CA, DA sont parallèles, ce qui est absurde; donc la balance ne restera pas en équi-

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■im ŒUVRES DE FERMAT. -■ CORRESPONDANCE. [51, 5i, 63, G-5] libre, mais elle s'inclinei'a du côté de B, puisque l'angle lîCF est évidemment jduH grand que l'angle MC¥.

7. Soit une parabole Alï (Jig. 35) de sommet A; si l'on fait tourner la tigure DAB autour de la droite DA prise comme axe fixe, on engendrera le conoïde parabolique d'Archimède, dont le volume est à celui du cône de même base et de même sommet dans le rapport de 3 ii 2.

Mais si l'on lait tourner la même figure DAU autour de la droite DB prise comme axe, on engendre un conoïde d'un nouveau genre; on demande de trouver le rapport de son volume à celui du cône de même base et de riième sommet, question qui n'est [las sans dilTicullé.

J'ai démontré que ce rapport est celui de 8 à .5; j'ai également Irouvé le centre de gravité du même conoïde.

(Letlre de l-'ormat ii Mm-aanaa pour Saiiiie-Cioix, septonibrc i(j3li.)

MOS RÉVKIiEM) Pklll.].

1. Quoique j'aie à dire que je ne suis point unOEdipo, mais un Dave, et que j'avoue très volontiers que je ne suis point parvenu à résoudre la question de M. de Sainte-Croix, je vous demanderai la permission de vous adresser, en échange des nombres qu'il a divulgués, la solution de votre problème, et de lui proposer à mon tour quelques questions qu'il ne débrouillera pas, je crois, de si tôt, malgré les promesses qu'il vous Tait et la singulière puissance de son esprit.

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riis, GGl TRADUCTION IIES PIECES LATINES. 2ST

2. Pour rendre donc l'épreuve plus honorable, ainsi qu'il lo dil, on choisissant des problèmes plus difTîciles, voici ceux que je propose :

1" Trouver un triangle rectangle eu nomhres, tel que son aire soi! un carré.

2" Étant donnée la somirie de l'hypoténuse d'un triangle rectangle on nombres et du produit des trois côtés, trouver les limites enire Icsquciles l'aire se trouve comprise.

Ne vous étonnez pas de l'addition d'une longueur cl d'un solide; car dans les problèmes numériques, comme on le sait, toutes les quantités sont homogènes.

3" Trouver deux bicarrés dont la somme soil un bicarré ou deux cubes dont la somme soit un cube.

4" Trouver trois carrés formant une progression arithinélique dont la raison soit également un carré.

3. A ces quatre problèmes, j'ajouterai deux théorèmes que j'ai découverts et dont j'attendrai la démonstration de M. de Sainte- Croix. Si mon attente est vaine, je donnerai cette démonstration. Les deux propositions sont d'ailleurs très remarquables :

i" Tout nombre est la somme de i, 2 ou 3 triangles; de i, i>, '.'> ou /( carrés; de i, 1, 3, 4 ou 5 pentagones; de t, 2, 3, 4, ."J ou G hexagones; de 1,2, 3, 4. 5, G ou 7 heptagones; et ainsi de suite indéfiniment.

Diophante paraît supposer la seconde partie de ce lliéorèmi' ef Bachet s'est efforcé d'en confirmer la vérité par l'expérience, mais il n'a pas donné de démonstration. Je crois avoir été le premier ii découvrir cette proposition si générale et si belle; mais je ne sais pas si Je puis, à titre de réciprocité, demander qu'elle soit admise.

2" Si l'on retranche l'unité du produit par S d'un nombre quidconque, on a un nombre qui est seulement somme de quatre carrés, non seulement en entiers, ce que d'autres peuvent avoir reconnu, mais mémo en nombres fractionnaires, ce que je m'engage à démontrer.

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Cette proposition entraîne des conséquences remarquables, qui peuvent être à la main de M. de Sainte-Croix, mais semblent en tout cas avoir inutilement tenté le génie et les efforts de Bachet.

4. Avant do résoudre la question que vous avez proposée sur les cubes, je répondrai à ce que vous me demandez pour le nombre 672, que je ne crois nullement qu'il soit le seul à satisfaire à la condition imposée; mais, avec ma méthode, c'est le seul qui se présente après I 20,

Cependant, dans les questions de ce genre, rien n'empêche qu'avec une autre méthode on ne rencontre d'autres nombres satisfaisant à la condition proposée; si M. de Sainte-Croix en a de la sorte obtenu d'autres, je serais très heureux qu'il voulût bien me les communiquer en même temps que sa méthode. Les questions de ce genre sont, en cffi't, très belles et très difficiles et personne, que je sache, ne les a encore traitées; j'ai obtenu, par un procédé particulier, des solutions pour un nombre indéfini de questions.

5. Quant au problème sur les nombres 3 cl 11, j'avoue qu'il me parait des plus difficiles et qu'après beaucoup de tentatives je n'en possède pas encore la solution. Je croirais, jusqu'à preuve du contraire, que cette solution est plutôt due au hasard qu'à la Science; mais je me trompe probablement plutôt que M. de Sainte-Croix. S'il consent à Faire connaître les nombres qu'il a trouvés, je lui demanderai d'ajouter le procédé suivi pour les construire.

6. Enfin, pour votre question des cubes, voici comment je la conl'ois :

Etant donnés autant de nombres en progression arithmétique que l'on voudra, et connaissant la raison de la progression et le nombre des termes, trouver la somme de leurs cubes.

T. Premier cas : le premier terme est r, et la raison de la progression est également Funiié.

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Soient proposés autant de nombres que l'on voudra, par exemple

I, 9., 3, /,, ,^, 6, 7, 8, cj;

la somme de leurs cubes est égale au carré du triangle ayant le nombre des termes pour coté. S'il y a 9 termes, comme dans le cas

proposé, le triangle est 45, et son carré, 2023, sera égal ii la somme des cubes.

Cette proposition, pour ce premier cas, a été démontrée par Bachet et par d'autres; les cas suivants ont été trouvés par moi.

8. Si le premier terme est l'unité, la raison de la progression étant un nombre quelconque, par exemple 4 dans la progression

Je prends le triangle ayant pour coté la somme du dernier terme et de la raison moins l'unité. Ce triangle est aïo et son carré l\!\ioo. De ce carré, je retranche :

i" La somme des cubes d'autant de nombres commençant il l'unité et dans la progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de la progression moins i; cette somme doit ctrc, d'autre part, multipliée par le nombre des termes.

Dans l'exemple proposé, le produit à soustraire d'après cette règle est 180.

2" Le triple de la somme des carrés d'autant de nombres commençant à l'unité et dans la progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison moins 1 ; ce triple doit être, d'autre part, multiplié par la somme des termes de la progression donnée- Dans l'exemple proposé, le nombre à soustraire d'après cette règle est i8()o.

3" Le triple de la somme d'autant de nombres commençant à l'unité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison moins i; ce triple doit, d'autre part, être multiplié par la somme des carrés des termes de la progression donnée.

feb«at. - m, 37

290 ŒUVIïES DE FERMAT.— CORRESPONDANCE. [5S, Gd]

Dans l'exemple propose, !e nombre à soustraire d'après cette régie

est lo 170.

Ainsi la somme dos nombres à retrancher de fi^\ loa est 12240; le

reste est 3i8Go; Je le divise par .'it raison de la progression, et j'ai

ainsi le nombre 7963 qui est la somme des cubes des nombres i, 5, 9,

Lu méthode s'applique toujours de la même façon et dans tous

les cas.

9. Mais je n'ai pas encore dit comment on doit calculer tant la somme des nombres i, 5,9, i3, 17 que la somme de leurs carrés, ce qui est indispensable pour effectuer la seconde et la troisième opération,

La régie pour le premier calcul est donnée par Bachet dans son opuscule Des nombres polygones ; quant au second, on opérera comme suit :

Prenez la somme des carrés d'autant de nombres commençant à l'unité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la somme du plus grand terme de la progression et de la raison moins i.

Le calcul de cette somme est facile, d'après ce qu'Arcliimède eu a dit dans son livre Des spirales.

De cette somme retranchez ;

i" La somme des carrés d'autant de nombres commençant à l'unité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de la progression moins t. Vous aurez multiplié cette somme par le nombre des termes;

2" Le double de la somme d'autant de nombres commençant à l'unité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de la progression moins i. Vous aurez multiplié ce double par la somme des termes de la progression donnée.

Après ces soustractions, vous divisez le reste par la raison de (a progression, et vous aurez la somme des carrés des termes.

Des régies données pour ces deux cas vous pourrez immédiatomont ou sans grande difficulté déduire colles qui s'appliquent aux autn-s.

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[m,l<i} TUADUCTION DES PIÈCES LATINES. 201

dO- Au reste je n'ai pas voulu m'arrêtei' là, mais j'ai résolu le problème qui est peut-être le plus beau do toute l'Arithmétique, c'est-à-dire celui où l'on cherche, pour une progression quelconque, non plus seulement la somme des carrés ou des cubes des fermes, mais celle des puissances quelconques, pour tous les degrés jusqu'à l'infini, bicarrés, carrécubes, bicubes, etc.; la méthode étant aussi générale que possible.

H. Pour que M. de Sainte-Croix sache que je n'attends à cet égard ni un sphinx, ni un OEdipe, voici la solution du problème pour la somme des bicarrés. On peut l'énoncer comme suit sons forme de théorème :

Soient pris à partir de l'unité autant de nombres que l'on voudra en progression naturelle; si l'on ajoute 2 au quadruple du dernier et qu'on multiplie la somme par le carré du triangle qui est la somme des nombres, après avoir retranché du produit la somme des carrés des termes, on aura le quintuple de la somme de leurs bicarrés.

■Exemple : Soient pris les nombres i, 2, 3, 4; en ajoutant 2 au quadruple du dernier, on a 18, qu'il faut multiplier par 100, carré du triangle somme des nombres; du produit 1800 on retranche la somme des carrés des termes, c'est-à-dire 3o. Il reste 1770, dont le cinquième, 354> est égal à la somme des bicarrés.

Je résous de même le problème pour une progression quelconque, en imitant la construction qui précède.

Si vous ou M. de Sainte-Croix le désirez, je vous communiquerai la méthode générale pour les puissances quelconques jusqu'à l'infini.

12. En attendant, j'ajouterai une très belle proposition que j'ai trouvée et qui m'a fourni la lumière pour les questions de ce genre :

Dans la progression naturelle, on a le double du triangle ayant, pour côté le dernier nombre, en multipliant celui-ci par le nombre immédiatement supérieur; on a le triple de la pyramide ayant pour côté le dernier nombre, en multipliant celui-ci par le triangle du nombre immédiatement supérieur; on a le quadruple du trjangulo^

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292 ŒUVRES DE FERMAT.— CORRESPONDANCE. [70, 7îJ

(riangle fiu ilernier nonibro, on multipliant celui-ci par la pyramide du nombre immédiatemenl supérieur; et ainsi de suite à l'infini, par une méthode uniforme,

13. Pour votre proposition dos triangles rectangles, elle me semble énoncée dans votre lettre avec quelque peu d'obscurité; je la résoudrai peut-être, si vous me la proposez plus clairement.

Voire tout dévoué,

FlLRMAT.

(Lollrc de Kormat i'i Roberval, du aa septembre iCi'iG.)

6... Si aulour de la droite DA (Jîg. 38) on fait tourner la parabole qui a B pour sommet, BF pour axe et AF pour'ordonnée, on

engendre un conoide d'une nouvelle espèce qui est tel que, si on le partage en deux parties égales par un plan perpendiculaire à l'axe di' rotation, sa moitié sera au cône de même base et de même hauteur dans le rapport de 8 à 5.

Si au contraire on le coupe en deux parties inégales par un plan perpendiculaire à l'axe de rotation, soit en E par exemple, le rapport du segment de conoïde ABCE au cône de même base et de même hau-