E[)=+2AE.ED + D[''.AK

feur sera ^^j^ — — — — ; et de même le rapport du segment

de conoïde DCE au cône de même base et de même hauteur sera

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TRADUCTION l>ES PIÈCES LATINES.

([.cLlrc de Format â Robci'val, du 4 novumbre ifijifi.)

1- Soit !a parabole ACDF (fif,'. 4i) d'axe DR, de base AF. Menons une droite GB parallèle àDE et par suite perpendiculaire à AF. Si l'on fait tourner la figure ADE autour de DE comme axe, on engendre le conoide d'Archimède; autour de AE comme axe, on a au contraire mon conoïde.

Si maintenant on fait tourner la figure ACB autour de AU comme axe, on aura un segment de mon conoïde; mais autour de CB comme axe, on engendrera encore un conoïde d'une autre espèce. On demande le rapport de son volume à celui du cône de même base et de même bauEeur.

J'ai résolu ce problème : j'ai même trouvé mieux, un ellipsoide tel que si vous trouvez le cône do même volume, je donnerai la tiuadrature du cercle. Mais ce sera pour une autre fois.

9. Soit ABC (Jïg- /|5) une conchoïde de pèle B et d'intervalle HA. Soit B un point donné sur cette concboïde.

Je dis en premier lieu que cette courbe doit être repré;

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in ŒIJVKES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE. [87,881

vpxc vers le bas du ht figure, quoique Pappus et Eiitociiis j)ion( jugé lUfféremment.

En second lieu, jo construis comme suit la tangente : Joignez FIU, abaissez la pocpenciiculaii'C BD; conslPuisez DN par la condition RI' xFI + RI)^ = l!l)xI)N

lîl)

et DYpar la suiva

l.a droite YB sera tangente à la eonchoïilo.

Objections de !M. im Fi;r«at contri: une ni\orosiT[<iN iiiU;\mqi:f,

DE M. DE RoCEtlVAL.

Si cette proposition mécanique de M. de Roberval était vraie, que dans un levier quelconque les poids doivent être, pour l'équilibre, en raison inverse des perpendiculaires abaissées du centre du levier sur les lignes do direction, la proportion qu'il donne, dans son Traité, entre le grave et la puissance sur le plan incliné, ne pourrait subsister. Je le démontre manifestement :

Soit (fig. 46) un point N sur la surface de la Terre, H le eentre de la Terre. Je joins NH, et jo mène ANGF perpendiculaire ii HN; cette

droite ANGF est une des parallèles à l'horizon pour ceux qui sont au point N. Soient enfin des sphères de centres B, C, D, tangentes en N, (j, F à la droite ou au plan par ANGF.

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l8S, 89] TiîADUCTlON DES Plï-ICES LATINES. 2!)o

En premier lieu, il est clair que la sphère B sera mise en mouvement par une puissance aussi faible que l'on voudra, ce que M. de Roberval ne nie pas; que, d'autre part, si elle est placée au point N, elle V sera en équilibre; mais, au contraire, elle n'y restera en aucun autre point du plan.

Achevez la figure comme ci-contre, La droite HG, qui joint le pointde contact G au centre H de la Terre, fait un angle obtus avccCG: donc la sphère G se mettra en mouvement dans le sens GN. Il en sera de même pour la sphère D. Soit donc en Z une puissance retenant la sphère G par une tendance parallèle à ANGF, c'est-à-dire suivant 7X.. Imaginez un levier de centre fixe G et abaissez sur HG la perpendii-nlaire GI.

La tendance de la sphère C au mouvement naturel est dirigée suivant CH, celle qui la retient est dirigée suivant GZ, droite à laquelle GG est perpendiculaire. Donc, d'après l'hypothèse de M, de Roherval, GI :GC :: PuissanceZ : Poids G. c. q. v. u.

Mais pour retenir la sphère D, il faudra une puissance supérieure, et cette puissance devra être d'autant plus forte que la sphère sei-a plus éloignée du point N (ce qui est remarquable), tandis que M. de Roherval admet que le rapport de la puissance au poids ne varie pas pour un plan donné. Il peut voir combien cela est éloigné de la vérité.

Soient {fig. 47) B le centre de la Terre, ACDE un plan incliné. Qu'on

A et en (] la puissance nécessaire pour retenir le grave soit la même )^cla pouvait paraître rationei aux yeux de M. de Roherval.

.Mais, si l'on abaisse la perpendiculaire BD, puisqu'il y a é(juilibr<

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mi ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [81), ao,;)3]

(Ml D et que la puissance qui y retient est aussi faible que l'on voudra, (■omment sa proposition peut-elle subsister?

Ma démonstration est d'ailleurs valable pour un plan quelconque, car tout plan est parallèle h un certain horizon.

Ainsi ce qu'a démontré M. de Robcrval est renversé et une voie très facile s'ouvre pour établir une nouvelle proportion en rapport avec ses hypothèses.

.le voulais ajouter une seconde figure pour exposer ce que je pense de sa dernière proposition, mais je n'ai pas le temps.

(l.eUro <h l'^ermat à Roburval du 7 dccembro ilioli.)

i... Soient liDC un levier (y^g^. 48), D son milieu, A le centre dti la Terre, DA perpendiculaire an levier. Soient en B et C îles poids

égauM, tendant naturellement vers le centre de la Terre suivant les droites BA, CA; que le levier soit suspendu en D et maintenu par une puissance quelconque ; je dis que les corps B et C pèsent autant que

s'ils étaient réunis en D et soutenus par la même puissance.

(LoUre do Tormat à iioboi'val flu [(i dtioomijrc UVMi.)

8. . . Pour les paraboles cubiques, carrécubiques et ainsi de suite indéfiniment de deux eu deux puissances, la méthode dont je me suis

servi ne donne pas le rapport desconoïdes aux cônes; j'ai au contraire

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uno méthode qui donne le contre de gravité pour tous Jes conoïdes sans excBption; .votre proposition permcUrait donc de trouver leur rapport aux cônes.

10- . . Soit un levier CÂB {fig. 49)- doit le milieu A est joint au centre N de la Terre par une droite AN perpendiculaire au levier. Soient en C et B des poids C et B égaux et semblables, qui tendent vers le centre suivant les droites CN, BN.

D'après votre principe, si ces droites NC, NB étaient perpendiculaires au levier, celui-ci serait maintenu en équilibre par une puissance en A égale à la somme des poids B et C. Mais, puisque ces droites font des angles aigus NCA, NBA, il faut en A pour l'équilibre une puissance qui sera soit la même, soit plus petite, soit plus grande.

Fig. 'lO-

Si la même puissance détermine l'équilibre, le principe dont je me suis servi dans ma dernière lettre est vrai; or, si vous accordez ce principe, la démonstration de la proposition de mon levier s'ensuit immédiatement.

S'il faut une puissance soit plus grande, soit plus petite, dans le premier cas, cette puissance devra être d'autant plus grande que les angles des droites CN, BN avec le levier seront plus petits; dans le second cas, elle devra être d'autant plus petite. Soit supposé comme sur la figure, au-dessus du point A. le même levier suivant la même direction; les angles des lignes CN, BN augmenteront évidemment; donc la puissance nécessaire en A pour maintenir l'équilibre variera avec la distance au centre de la Terre, et par suite le poids composé des deux graves B et C variera lui-même avec cette distance.

Kemmat. — lli. 38

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■•1\)S ŒUVRES DE FERMAT. [in, <)n]

Vous ne pouvez accorder la première partie du dilemme, sans qm^ votre proposition ne tombe aussitôt; il vous faut donc admettre, ou bien que la puissance en A varie avec la valeur des angles ou bien que, tout en étant toujours la même quelle que soit la valeur de ces angles, elle est différente de la puissance qui soutiendrait le levier si la direction des poids était perpendiculaire k celui-ci.

Quelle que soit l'hypothèse que vous choisissiez, il sera prouvé très clairement que dans votre démonstration s'est glissé un paralogisme que la vérité que nous cherchons ne permet pas de dissimuler et que peut-être vous-même devrez reconnaître.

H. Sur la première figure (Jig. 5o), qui est la quatrième de votre Lettre, voici ce que vous dites (') :

C'est là-dessus que repose toute votre démonslration.

Mais en premier lieu, si vous dites que, pour toute valeur des angles égaux, la puissance nécessaire ii l'équilibre est toujours la même, je démontrerai immédiatement ma proposition du levier; il vous faut donc accorder que cette puissance varie avec les angles.

Ceci admis, soit sur la figure N le centre de la Terre, où concourent les droites CE, BD, et soient en E et D des graves dans le rapport donné, ce qu'on est libre de supposer, d'après votre construction.

Au reste elle n'a pour objet que de trouver le rapport des poids sur

(') Foir le texte l'rar(.'ais, t. Il, p. 79, ligue 10 à page 80, ligne 4.

m.m] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 29!)

le levier en équilibre au moyen de puissances imaginaires qui pour toutes leurs parties agissent toujours suivant une même direction ; car autrementdes puissances de ce genre, qui n'existent nullement dans la nature, seraient absolument inutiles.

Vous supposez en H et G des puissances égales aux poids E et D et agissant pour toutes leurs parties suivant une même direction. Puis vous concluez, par votre premier axiome, que les etîets des puissances H et E sont égaux; la puissance H agissant en Q suivant HC perpendiculairement au levier, et le poids E agissant suivant la même perpendiculaire, ces puissances étant égales, agissant suivant la même droite, suivant le même angle sur le levier et à la même distance de son centre, l'action du poids E ne peut, suivant vous, différer de celle de la puissance imaginaire H.

Si vraisemblable que paraisse cette conclusion, elle ne peut que paraître très fausse à qui recherche la vérité intime des choses.

Supposons, par exemple, que le poids E soit sphérique; toutes ses parties tendent vers le centre N suivant des droites qui concourent à ce centre et dont les prolongements rencontrent le levier AC sous des angles aigus. Par conséquent, elles forment un ensemble de puissances agissant de part et d'autre du point G à des distances égales deux à deux, suivant des distances obliques par rapport au levier. Au contraire, toutes les parties de la puissance H étant supposées agir suivant une même direction, elles forment un ensemble de puissances agissant do part et d'autre du point G à des distances égales deux à deux, mais suivant des directions normales par rapport au levier.

Or, puisque la somme de toutes les parties de la puissance H est égale à la somme de toutes les parties de la puissance ou poids E (puisqu'on suppose que la puissance H est égale au poids E), il s'ensuit, d'après ce qui a été établi, que les efi'ets des puissances H et E agissant en H et E sont inégaux; par suite, ce que notre démonstration conclut justement pour la puissance H est étendu h tort au poids E.

300 ŒUVRES DE FEIÏMAT.. [100,101]

(Lettre do Fermai à Roberval, de février 1637.)

1. Soient donnés autant de points que l'on voudra, par exemple cinq. A, G, F, H, E {fig. 5r) (mais la proposition est générale), on demande de trouver un cercle tel que, si d'un point quelconque de k circonférence on mène des droites aux points donnés, la somme des carrés de ces droites soit égale à une aire donnée.

Je joins deux points quelconques A, E; des autres points donnés j'abaisse sur la droite AE les perpendiculaires GB, HD, FC. Je prends une fraction conditionnée, le cinquième dans l'esemple choisi, de la somme de tous les segments limités sur AE d'un côté par le point A, de l'autre par les points donnés ou les pieds des perpendiculaires; ainsi soit AO = |(AB +AC-4-AD -hAE); en 0 j'élève une perpendicntaire indéfinie ON sur laquelle je prends 01 égale à la même fraction conditionnée par le nombre des points (ici un cinquième) de la somme des perpendiculaires GB, FC, HD, Je suppose enfin menées

les cinq droites Al, GI, FI, HI, El. La somme de leurs carrés doit être inférieure à l'aire donnée; retranehez-la donc de cette aire et soit par exemple Z^' la différence. Prenez-en le cinquième (c'est-à-dire la fraction conditionnée) et construisez le carré équivalent W. Le cercle décrit de 1 comme centre, avec M pour rayon, satisfera à la question ; c'est-à-dire que, quelque point que vous preniez sur sa circonférence, la somme des carrés des droites qui le joignent aux points donnés sera égale à l'aire donnée.

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.l'ajouterais bion la démonstration, mais elle est assez longue; et je préfère vous inviter tous deux à la chercher.

2. Je n'ai pas seulement trouvé ces propositions, mais en général toutes celles des lieux plans, et même beaucoup de lieux dont Apollonius n'a rien écrit et qui cependant sont très beaux. Par exemple :

Etant donnés trois points A, B, C {fig. 02) en ligne droite, trouver une circonféreuce de cercle telle que, si l'on en prend un point N quelconque, AN' -+- NB^ — NC^ soit égal h une aire donnée.

J'ai également fait de nombreuses découvertes sur les lieux solides et en surface.

Je n'ajoute pas les cas du premier lieu plan ci-dessus; ils se ilistinguent immédiatement. Si les points donnés sont au nombre de ■trois seulement et forment par suite un triangle, le contre du cercle formant le lieu est le centre de gravité de ce triangle, proposition singulière et assez remarquable.

3. Mais je ne m'arrête pas là. J'établis la proposition sous une forme très générale et j'en ai fait la construction :

Trouver le cercle lieu des points tels que si l'on joint l'un d'eux à autant de points donnés que l'on voudra, et que l'on augmente ou diminue dans un rapport donné chacun des carrés des droites ainsi menées, la somme dos carrés ainsi augmentés ou diminués soit égale à une aire donnée.

Exemple : Soient donnés, sur la figure précédente, les trois points A, B, C; on demande un cercle tel que, si l'on prend sur sa circonférence un point N quelconque, jNA^-H 2BN--1- 3CN^ par exemple, fasse une

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:tl)2 ŒUVRES DE FERMAT. [178,180,204,267]

airn donnéo. Etendra la construction à un nombre quelconque de points et à des coefficients quelconques.

Apollonius ne semble pas avoir connu cette proposition qui est certainement très belle.

(lettre de Fermât à Mersenno, du 'iCi décembre i6'i8.)

4. Si autant de points donnés que l'on voudra sont joints à un même point par des droites et si la somme des carrés de ces droites l'st égale à une aire donnée, leur point de concours sera sur une surface de sphère donnée de position.

(LeltL'o de Fermât à Morsenno, du w fiivrier i6!îi|,)