a;* — 9ic--i- i3a; = y'sSB — i
On demande la valeur de x. Ce problème reçoit trois solutions dont nous donnons la première, 3 — v'a, qui satisfait exactement ii la question. Qui donnera les deux autres sera pour nous un grand oracle. »
Ces deux autres solutions sont : 3 -i-v'i8 et 3 — v^.
(Lettre de Fermât à ItobervaL août ifiio.)
6. far un point donné à l'extérieur ou à l'intérieur d'une parabole, mener une droite qui détermine un segment de parabole d'aire donnée. Si le point est intérieur à la parabole, déterminer l'aire minima qui peut être ainsi rctrancbée do la paraliole par une droite passant par le point donné.
(Lettre de Fermât ■:< Gassendi, ifiiG?)
1. Galilée a défini mouvement uniformément accéléré celui dans lequel, à partir du repos, les accroissements de vitesse sont égaux pour des temps égaux.
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Quant à celui dans lequel les accroissements de vitesse seraient égaux pour des espaces parcourus égaux, il dit qu'il convient d'autant moins pour représenter ie mouvement de chute des graves, que, suivant cette hypothèse, le mouvement se ferait dans un instant, comme ii pourrait, dit-il, le démontrer très facilement.
On peut, pourvu qu'elle soit vraie, accorder à ce perspicace lynccen la conclusion qu'il n'a pas démontrée. Mais s'il a, du premier coup d'œil, vu ou cru voir dans l'obscurité la démonstration, on ne s'étonnera pas qu'elle soit réclamée par ses lecteurs, qui ne sont pas lyncécns.
Pour maintenir donc l'honneur de Galilée et pour faire qu'il n'y ait plus de doute sur sa proposition .et qu'on n'en dispute plus en invoquant dos raisons seulement probables, je vous envoie cette démonstration suivant la méthode d'Archimède.
2. Si autant de droites que l'on voudra, issues d'un même point, sont en progression géométrique continue, leurs différences seront également en progression suivant la même raison.
Soient, par exemple, les droites AH", BF, CF, DF, EF, etc. {Jig. "<)) en progression continue, leurs différences AB, BC, CD, DR seront en progression suivant la même raison.
En effet, si AF : BF ; : BF : CF, et que l'on retranche respectivement chacun des deux derniers termes du premier qui lui correspond, on aura dans le même rapport AB :BC :: AF :BF, et de même pour les autres. On prouvera de même que AF : CF :: AB :CD; que
IîF-.DF::lïC:Dli, oic.
3. Si l'on imagine un point se mouvant de F vers A {fig- 8o) d'un mouvement continuellement accéléré suivant le rapport des espaces parcourus, et que l'on prenne une série de longueurs en progression
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:«li ŒUVliES DE FERMAT. [iG9, î7U|
ciKiltnuc, comme AF, BF, CF, DF, EF, etc., le temps dans lequel l'esj}ace DE sera parcouru sera égal au temps du parcours de l'eapace DC;
en un mot, chacun des espaces ED, DC, CB sera parcouru dans uu même temps.
4. Je prouverai d'abord que les espaces CB, BA sont parcourus clans le même temps, d'après l'hypothèse faite sur le mouvement.
Si le temps pour AB n'est pas égal en effet au temps pour BC, il sera soit plus grand, soit plus petit.
Supposons-le d'abord plus grand. Le rapport du temps pour AB au temps pour BC sera donc celui d'une longueur plus grande que BF à BF. Soit Z cette droite, on aura : Temps AB : TempsBC : : Z : BF.
Prenez entre AF, BF autant de moyennes proportionnelles RF, MF, NF qu'il faudra pour que la plus petite, soit NF, soit inférieure à Z. Qui ne voit que ce résultat sera nécessairement atteint soit par l'insertion d'une seule moyenne, soit par le redoublement de l'opération effectué autant que de besoin?
De la sorte, AF,.RF, MF, NF, BF forment une progression continue, et. comme on a AF : BF : : BF :CF :: AB :BC, on peut continuer la même progression suivant le même rapport, de façon à avoir un même nombre de termes BF, OF, VF, XF, GF, de BF à CF.
Ceci posé, considérons chacun des espaces AR, RM, MN, NB, et comparons-les respectivement aux espaces BO, OV, VX, XC, chacun à chacun, c'est-k-dire AR à BO, etc.
Si, sur l'espace AR, le mouvement était uniforme selon le degré de vitesse acquis en R, et si, sur l'espace BO, le mouvement était également uniforme suivant le degré de vitesse acquis en 0, on aurait
Temps pour Aïl AR ^ Viicsse en lî
Temps pour RU ~ RO " Vitesse en R'
ce qui est hien connu et a, au reste, été démontré par Galilée luimême, ppop. 5 du Traité du mouvement uniforme.
Mais, par la première proposition, AR :B0 : : AF :BF, et d'après l'hypotlièse de l'accéiération du mouvement suivant les espaces ; Vitesse en B : Vitesse en R:: BF :RF. Donc
Temps pour Al! AF HF AE Temps pour BO ~ ÏÏË ^ RF " HF'
Si maintenant on suppose, sur l'espace RM, un mouvement uniforme
suivant le degré de vitesse acquis en M, et, sur l'espace OV, un mouvement uniforme suivant le degré de vitesse acquis en 0, on prouvera
de même que
TempsMR : TempsOV :: HF : MF.
De même, considérant les vitesses aux pointa N, V :
TempsMN : Temps VX :: MF : NF.
Enfin, considérant les vitesses aux points B et X pour les derniers espaces :
TempsNR : iempsXC : : NF : BE.
Mais, d'après la construction, les rapports AF : RF, RF : MF, MF : NF, NF;BF sont égaux; par suite, en sommant les temps suivant AB et suivant BG, le rapport de ces temps totaux pour des mouvements définis comme nous l'avons dit sera égal au rapport AF ; RF ou NF ; BF".
Mais le temps du mouvement accéléré sur AR est inférieur au temps du mouvement uniforme sur AR avec la vitesse en R; en effet, par hypothèse, la vitesse croît continuellement de R à A; donc, dans le mouvement accéléré, le mobile va plus vite de R en A que s'il parcourait l'espace RA avec la vitesse qu'il a en R.
On prouvera de même que le temps du mouvement accéléré sur RM est inférieur au temps du mouvement uniforme sur RM, avec une vitesse correspondant h celle acquise au point extrême M.
Enfin on établira que, pour ie mouvement accéléré sur la ligne totale AB, suivant l'hypothèse faite, le temps sera moindre que pour flhii.1t.— tu ^9
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306 ŒUVRES DE FERMAT. [Wî, M]
m-. iîiouvcmL'nt imaginaire composé de mouvements uniformes, avec des vitesses correspondant à celles acquises aux points eîi;Lrcmcs des espacesAR. RM. MN, NB.
Hais, au contraire, le temps du mouvement accéléré sur BO est plus long que celui da mouvement uniforme sur BO avec la vitesse au point B, parce que la vitesse croît toujours de 0 à B dans le mouvement accéléré, d'après l'hypothèse; elle reste donc toujours inférieure il la vitesse correspondant au point B.
En raisonnant de même, on conclura que, suivant l'hypothèse faite, le mouvement accéléré sur la ligne totale BC demandera un temps plus long que le mouvement imaginaire composé de mouvements uniformes avec les vitesses correspondant aux premiers points des espacesBO.OV, VX, XC.
Ainsi le temps du mouvement accéléré snr AB est moindre qne le temps du mouvement imaginaire sur AB, et au contraire le temps du mouvement accéléré sur BC est plus grand que le temps du mouvement imaginaire sur BC; donc le rapport des temps des mouvements accélérés sur AB et BC est moindre que le rapport des temps des mouvements imaginaires sur les mêmes lignes AB et BC. Mais le premier de ces deux rapports a été supposé égal îi celui des droites Z :BI'; le second a été démontré égal il celui des droites NF ; BF. Donc
Z:Df<M' :Rr,
ce qui est absurde, puisque Z > NF.
Donc le temps du mouvement accéléré sur AB n'est pas plus grand que celui du mouvement accéléré sur BC. On démontrera avec la même facilité que le temps du mouvement accéléré sur AB n'est pas plus petit que celui du mouvement accéléré sur BC.
Supposons-le en eflfeE plus petit s'il est possible; le rapport des temps des mouvements accélérés sur AB et BC sera donc égal à celui d'une droite inférieure à BF et de BF. Soit G cette droite inférieure à liF, et par suite : TempsAB : Temps BC : ; G : BF.
Entre BF et CF intercalons une série de moyennes proportionnelles
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dont la plus grande OF soit plus grande que G. En cmployaiU li' même raisonnement ([ue dans la première partie de la démonstration, et en comparant les espaces sur AB entre les extrémités des moyennes avec les espaces analogues BO, OV, VX, XC, en changeant toutefois les vitesses uniformes, et en supposant, par exemple, que le mouvement sur AB se fasse avec le degré de vitesse acquis en A; que le mouvement sur BO se fasse avec la vitesse acquise en 0, et de même pour les autres espaces; il est clair que toutes les vitesses sur AB seront augmentées par la substitution des mouvements uniformes, tandis que sur BC elles seront diminuées, contrairement à ee qui avait lieu d'après les suppositions de la première partie de la démonstration. On conclura dès lors que le rapport des temps des mouvements uniformes sur AB et BO est égal à celui de RF ii AF, puisque, si les vitesses augmentent, les temps diminuent.
De même, pour les mouvements uniformes :
Temps RM : TempsOV : : MF : MR.
et enfin le rapport des temps des mouvements imaginaires composés de mouvements uniformes sur AB et BC sera égal au rapport RF : AF. puisque tous les rapports des temps partiels sont égaux à ce mèm{' rapport, qui vaut d'ailleurs OF:BF, d'après la première proposition.
Mais sur AB le temps du mouvement accéléré est plus grand que 1(( temps du mouvement imaginaire composé de mouvements uniformes, puisque nous avons supposé que, dans ces mouvements uniformes, les vitesses sont augmentées (on a pris en effet celles qui répondent aux premiers points des espaces AR, RM, etc.) ; au contraire, sur BC le temps du mouvement accéléré est moindre que le temps du mouvement imaginaire composé de mouvements uniformes, les vitesses dans ce cas étant diminuées et répondant aux derniers points des espaces BO, OV, etc.
Donc le rapport du temps des mouvements accélérés sur AB et BC est supérieur au rapport des temps des mouvements imaginaires sur les mêmes droites AB et BC. Mais le premier de ces deux rapports esl
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31)8 ŒUVRES DE FERMAT. [574, ÎTSi
supposé égal au rapport G : BF; le set^nnd a été dcmonfré égal au nipport OF;BF; ilonc G;BF>OF:liF, ce qui est absurde, puisque G<OF, par construction.
Par conséquent, le temps du mouvement accéléré sur AB n'est pas inférieur au temps du mouvement accéléré sur BC; mais nous avons prouvé qu'il n'est pas non plus supérieur; donc ces deux temps sont égaux.
Par la même raison, il est clair que le temps du mouvement accéléré sur CD est égal à celui du mouvement accéléré, soit sur AB, soit sur BC, et, en continuant indétîninient le même raisonnement, que tous les espaces sans exception -sont parcourns en des temps égaux,
5. Cela établi, une troisième proposition va révéler la pensée de Galilée ou montrer la vérité de son affirmation.
imaginons le mouvement d'un grave tombant du point A, où il est en repos, jusqu'en H (/îg- Si), par exemple, et snpposons, s'il est pos-
sible, que la vitesse de chute s'accclcrc en raison de l'espace déjà parcouru. Admettons que le mouvement de A à H ait demandé une minute ou tout autre temps déterminé, et supposons que le mouvement se continue de H en K; je dis que le mouvement sur HK se fera en un instant.
Si, en etTef, il ne se fait pas en un instant, il demandera un certain temps déterminé, qui pourra être multiplié par un nombre tel que le produit dépasse le temps employé pour parcourir AH. Supposons que ce multiplicateur soit 5, c'est-ii-dire que 5 fois le temps du mouvement sur HK fasse plus que le temps du mouvement sur AH.
Prenez GA troisième proportionnelle aux droites KA, HA et continuez la série des proportionnelles suivant la même raison jusqu'à ce que le nombn; des espaces entre leurs extrémités surpasse 5; soient
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par exemple au delà du point H six espaces donnés par cette progression continue, HG, GF, FE. ED, DC, CB.
Comme on vient de le démontrer, le temps du mouvement sur HG est égal au temps du mouvement sur HK; il en est de même du mouvement sur GF, etc. Donc le temps du mouvement sur HB sera six fois le temps du mouvement sur HK; mais cinq fois le temps du mouvement sur HK fait plus que le temps du mouvement sur AH; donc, a fortiori, le temps du mouvement sur HB dépasse le temps du mouvement sur HA, ce qui est absurde.
Donc l'assertion de Galilée est vraie, quoiqu'il ne l'ait pas déraon-
6. Je vous ai écrit, illustre Gassend, en termes brefs et familiers, voulant seulement vous éviter de nouvelles difficultés de la part de Cazré ou de tout autre adversaire de Galilée; on en viendrait ainsi à des volumes sans fin, alors qu'une seule démonstration peut, de
l'aveu même des auteurs, renverser leur travail ou le rendre inutile et superflu.
(Lettœ de Kermat à Auzout? [G{S.l
Faire toujours disparaître les irrationelles dans les équations algébriques est une opération difficile et qui jusqu'à présent n'a pas été suffisamment travaillée par les analystes.
Supposons, par exemple, plus de quatre radicaux dans une équation dont il faille faire disparaître les irrationelles suivant les règles de l'art. L'analyste ne pourra guère se tirer d'embarras; plus il poussera ses calculs, plus la difficulté augmentera, jusqu'à ce que, fatigué de répéter sans fin les opérations, il reconnaisse qu'il n'a rien changé. L'Analyse doit-elle s'arrêtera cet obstacle et se laisser ainsi imposer silence par les irrationelles? Il faut que les savants étudient cette question et découvrent une méthode satisfaisante.
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:!I0 ŒUVRES DE FEKMAT. [2a3, 28j, îOiq
Soit proposé pai' exemple :
\/ba — a'-^ \Jz^-\- da -^«^^- \/ ma -Y-\id''— a- — y'ra -^ a-=i 1/ -y- a.
Que l'analyste opère sur cette équation suivant les règles de l'art el (ju'il se débarrasse des radicaux, ou bien qu'il reconnaisse rinsutfisance des règles.
(Lettre de Foniiat à Careavi, du lo aoilL (Cjo.)
2. Soit quatre termes irrationels homogènes, dont la somme soil, dans le cas proposé, égalée à une droite, suivant l'équation
iy^î a — a'+ V'i' — d' ba + n' + \lba — «* + {la" — d'à = fj -h a — c.
On demande la tangente en un point donné de la courbe dont cette équation [en a et e] représente la propriété spécifique .
(Lettre de Pascal à Fermât, du 20 juillet iG5i.)
4. Soit un nombre quelconque de lettres, par exemple les huit A, H, C. D, E, F, G, H; formez-en toutes les combinaisons 4 à /|, 5 à 5, i> à 6, jusqu'il celle des 8. Je dis que, si l'on ajoute à la moitié du nombre des combinaisons 4^4 (savoir 35, moitié de 70) le nombre des combinaisons 5 ji 5 (qui est 5G), celui des combinaisons 6 à 0 (qui est 28), celui des combinaisons 7 à 7 (qui est 8), enfin celui des combinaisons 8 à 8 (c'est-à-dire i), on a le quatrième terme de la progression géométrique commençant à 2 et ayant 4 pou'" raison ; je dis le quatrième, parce que 4 est la moitié de 8.
Les termes de cette progression géométrique, commençant ii 2 el ayant 4 pour raison, sont en effet : 2, 8, $2, 128, 5 12, etc. Le i*'' esf 2, le 2* est 3. le 3* est 32 et le 4* <5st 1 28 ; or
1 28 = 35 + 56 + 28 -h 8 -1- ( ; ce terme est ainsi la somme des nombres des combinaisons de 4. 5, G, 7 et 8 lettres.
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i 1%,2yi,32l] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. :il I
8. ... La différence, de deux cubes consécutifs quelconques, diminuée de l'unité, est égale au sextuple de la somme des nombres jusqu'à ia racine du plus petit cube inclusivement.
Soient R et S les deux racines, qui diffèrent d'une unité; je dis que K' — S^ — I est égale au sextuple de la somme des nombres depuis i jusqu'à S.
Soit S = a, et par suile K = « -i- i,
H' ou («-hi)'=«'+3rt'-|-3«-M^ el S' ou a'=a\ La différence K^ — S' — 3«- -+- 3« + i% et en retrancbant l'unité,
Mais, d'après le lemme, le double de la somme des nombres depuis I jusqu'à S ou a est a{a + i) ou a- -h a. Donc 3a- -+- 3a sera le sextuple de cette somme.
Or 3a- + 3fl =. R' - S^' - 1 ; donc R'' - S' - r est le sextuple de la somme des nombres depuis r jusqu'à S ou a. c. >>. v. n.
PllKMIKIS Dicn AIIK MATIUiMATlCnilNS,
B. Proposez, si vous le voulez bien, à WalUs et aux autres matliématicions anglais, la question numérique suivante :
1. Trouver un cube qui, ajouté à la somme de ses parties aliquotes fasse un cube.
2. Par exemple, 343 = 7^ Les parties aliquotcs de ce nombre sont : I, 7, 49; si l'on ajoute 343 ii leur somme, on a 400 = 20^. On demande un autre cube ayant la même propriété.
3. On demande aussi un nombre carré qui, ajouté à la somme de ses parties aliquotcs, fasse un cube.
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^V2 ŒUVRES DE PERMAT. iSK, is^o]
j'attends la solution de ces questions; si elle n'est fournie ni par l'Angleterre, ni par la Gaule Belgique ou Celtique, elle le sera par la N'arbonnaisc, qui l'offrira h Sir Digby et la lui dédiera en gage d'une amitié naissante.
