SECOND DÉFI AUX MATIIÉMATICIESS
[| est à peine quelqu'un qui propose des questions purement arithmétiques, il. est à peine quelqu'un qui sache les résoudre. Est-ce parce que l'Arithmétique a plutôt été traitée jusqu'à présent au moyen de la Géométrie que par elle-même? C'est la tendance qui apparaît dans la plupart des Ouvrages tant anciens que modernes, et dans Diophante lui-même. Car s'il s'est écarté de la Géométrie un peu plus que les autres en astreignant son analyse à ne considérer que des nombres rationels, il ne s'en est pas dégagé tout à fait, comme le prouvent surabondamment les Zétéùques de Viète, dans lesquelles la méthode de Diophante est étendue à la quantité continue, et par suite à la Géométrie.
Cependant l'Arithmétique a un domaine qui lui est propre, hi théorie des nombres entiers; cette théorie n'a été que très légèrement ébauchée par Enclide et n'a pas été assez cultivée par ses successeurs (à moins qu'elle n'ait été renfermée dans ces livres de Diophante, dont l'injure du temps nous a privés); les arithméticiens ont donc à la développer ou à la renouveler.
Pour éclairer leur marche, je leur propose de démontrer comme théorème ou de résoudre comme problème l'énoncé suivant; s'ils y parviennent, ils reconnaîtront au moins que des questions de ce genre ne le cèdent ni pour la subtilité, ni pour la difficulté, ni pour le mode de démonstration, aux plus célèbres de la Géométrie :
Étant donné un nombre non carré quelconque, il y a une inlinité de carrés déterminés tels qu'on ajoutant l'unité au produit de l'un d'eux par le nombre donné, on ait un carré.
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Par exemple, oa donne 3, nombre non carré.
3 X i'4- 1= 4 (carré), 3 X i6 -I- 1=^49 (carré).
Au lieu des carrés i et t6, on peut Irouvei' une infinité d'aud'es carrés satisfaisant à ia condition proposée, mais je demande une règle générale, s'appliquant à loul. nombre non carré qnolconquiï qui peut être donné.
On demande par exemple un carré, tel qu'en ajoutant l'uniLé à son produit par 149 ou par tog ou par 4^3, etc., on ait un carré.
(Lettre de Fermât à Digl)}', du (3 août 1657.)
4. Un nombre, somme de deux cubes, étant donné, le partager en doux autres cubes.
Ce problème n'a été résolu par Diopbante que pour les carrés; il ne l'a pas essayé pour les cubes, au moins dans les livres qui nous restent de son grand Ouvrage.
Par exemple, je propose le nombre 28, somme des deux cubes I et 27.
Il s'agit de partager ce nombre 28 en deux autres cubes rationels i!l de donner la solution générale de ce problème.
8. Diophante a proposé de partager un nombre carré en deux carrés, et de même, étant donné un nombre, somme de deux carrés, de le partager en deux autres carrés.
Mais ni lui ni Viète n'ont essayé d'élever la question jusqu'aux cubes; pourquoi hésiter ou différer de traiter une proposition pour laquelle l'honneur de la solution a été réservé aux analystes modernes?
Je propose donc de a partager un nombre cube en deux cubes rationels » ; de même : h Étant donné un nombre, somme de dinix
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314 ŒUVRES DE FERMAT. — CORRESPONDANCE. [340,402,403] cubes, le partager en deux autros cubes rationels », et Je voudrais savoir ee qu'on pense de ce problème en Angleterre et en Hollande,
(LctLfC (lo l-'ei'mal à Oigby, juin iGÎ8.)
1. Que les très illustres S''* Vicomte lîrounckcr et John Wallis aient enfin donné des solutions légitimes des questions numériques que j'avais proposées, je le reconnais volontiers; bien plus, j'en suis très heureux. Cependant, si vos éminents correspondants n'ont pas voulu avouer que les questions proposées les aient jamais embarrassés, même un seul moment, j'aurais désiré qu'au contraire ils aient bien voulu reconnaître de prime abord que ces problèmes étaient dignes d'être étudiés on Angleterre; leur triomphe eùf été d'autant plus éclatant que la lutte eût paru plus difficile. On peut faire cette concession à la fierté d'une nation aussi illustre et aussi féconde en grands génies; mais pour agir désormais en tonte franchise, si les Français avouent que les Anglais ont satisfait aux questions proposées, que les Anglais à leur tour reconnaissent que ces questions valaient bien !a peine de leur être proposées, et qu'ils ne dédaignent plus d'examiner attentivement et de pénétrer la nature des nombres entiers, qu'enfin ils appliquent la puissance et la subtilité de leur esprit à de nouveaux progrés dans cette théorie.
2. Pour qu'ils me l'accordent plus volontiers, je leur proposerai un exemple tiré do Diophante et de son célèbre commentateur Bâche t.
Dans la plupart des questions des Livres IV et V, Diophante suppose que tout nombre entier est ou bien carré ou bien somme de deux, de trois ou de quatre carrés. Dans son commentaire sur le problème IV, 31, Bachet avoue qu'il n'est pas parvenu à démontrer complètement cette proposition. René Descartes lui-même, dans une lettre qui sera prochainement publiée et dont j'ai eu récemment con-
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[403,404] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 31o
naissance, avoue ingénue ment qu'il ignore la démonstration et déclare que le chemin pour y parvenir lui parait des plus difficiles et des plus embarrassés. Je ne vois donc pas que l'on puisse douter de l'impoptancede cette proposition. Orj'annonccà vos éminents correspondants que j'en ai trouvé une démonstration compU'fe.
Je pourrais ajouter nombre do propositions très célèbres dont je possède également la preuve irréfutable; par exemple :
Tout nombre premier, de la forme 4" H- i. est somme de deux carrés; ainsi 5, i3, f], 29, 37, 4ii etc.
Tout nombre premier, de la forme 3«-i-f, est somme d'un carré et du triple d'un autre carré; ainsi 7, i3, 19. 3 1, 37, 43, etc.
Tout nombre premier, de la forme '&n-\- i ou Sn h- 3, est somme d'un carré et du double d'un autre carré; ainsi 3, ii, 17, 19, 4^- 43, etc.
Quant à la proposition de Bacbet ci-dessus, je l'aï proposée autrefois généralisée à M. de Sainte-Croix, et j'ai également la démonstration pour cette extension que voici :
Tout nombre entier est soit triangle, soit somme de 2 ou 3 triangles ; soit carré, soit somme de 2, 3 ou 4 carrés; soit pentagone, soit somme de 2, 3, 4 ou 5 pentagones; soit hexagone, soit somme de 2, 3, 4t 5 ou 6 hexagones; et ainsi de suite en continuant indéfiniment.
3. Tous ces théorèmes que j'ai découverts comme une infinité d'autres concernant les nombres entiers, et dont je possède des démonstrations générales, je pourrais les proposer à vos éminents correspondants et leur créer ainsi au moins quelque occupation. Mais il sera plus dans la franchise de ma nation de leur soumettre au contraire des énoncés dont j'avouerai que j'ignore la démonstration, quoique je sois persuadé de leur vérité.
On sait qu'Archimèdc n'a pas dédaigné de travailler sur des propositions de Conon qui étaient vraies, mais non prouvées, et qu'il a su les munir de démonstrations d'une haute sublilité. Pourquoi n'espére-
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3t6 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE, [m, m]
rais-jo pas un semblable secours de vos émincnts correspondants, pourquoi, Couon français, no Irouvorais-jc pas des ArcHimèdes anglais?
i" Toutes les puissances du nombre 2, ayant pour exposant un des termes de la progression géométpique suivant la raison du même nombre 2, donnent des nombres premiers, si on leur ajoute l'unité.
Soit la progression géométrique suivant la raison 2, avec ses exposants :
^.. il. 8. 16. 3:1. G'i. r>.8. a56.
Le premier terme 2, augmenté de l'unité, fait 3, nombre premier.
Lo second terme 4- augmenté de l'unité, fait 5, nombre premier.
Le quatrième terme iG. augmonlé de l'unité, l'ait 17, nombre premier.
Le huitième terme 2S6, augmenté de l'unité, l'ait 2.17, nombri' premier.
Prenez en général toutes les puissances de 2, dont l'exposant est un terme de la progression, il en sera de même. Ainsi, le seizième est 65 536; ajoutant i, on a 65537, 'ï'^' ^^^ premier. De cette façon, on peut déterminer et calculer sans dilficulté un nombre premier plus grand que tout nombre donné.
Je demande une démonstration de cette proposition, qui est certainement très belle, que Je crois très vraie, et grâce si laquelle on peut, comme je viens de le dire, résoudre immédiatement un problème autrement très difficile, savoir : étant donné un nombre quelconque, trouver un nombre premier qui soit plus grand. Et cela donnera peutêtre à vos éminents correspondants la clef pour pénétrer tout le mvs- Eère des nombres premiers, c'est-à-dire étant donné un nombre quelconque, reconnaître, par la voie la plus facile et la plus courte, s'il est premier ou composé.
2" Le double de tout nombre premier, de la forme 8/( — 1, est somme de trois carrés.
Soit un nombre premier quelconque do la forme Sn — r, comme 7.
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23, 3i, 47i etc.; jo dis que chacun des doubles i4. 'l'J, <J2. 9';> <'*l somme do trois carrés.
J'affirme que cette proposition est vraie, mais seulement à la façcdi de Conon, attendant qu'un Archimède la démontre.
3" Si l'on fait le produit de deux nombres premiers, terminés par 3 ou par 7, et delà forme 4^* + 3,ec produit sera la somme d'un carr-é et du quintuple d'un autre carré.
Tels sont les nombres 3, 7, 23, 43, 47» '^7» etc. Prenez-en deux, par exemple 7 et aS; leur produit i6i est la somme d'un carré et du quintuple d'un autre carré. En effet 161 = 81 -1- 5 x 16.
Je dis que cette proposition est vraie en général et j'attends seulement la démonstration. D'ailleurs le carré de chacun de ces nombres est également somme d'un carré et du quintuple d'un autre carré, ce que je propose également de démontrer.
4. Pour ne pas paraître trop pauvre en démonstrations, J'ajoutei'ai une proposition que je puis prouver :
Il n'v a aucun nombre triangle, sauf l'unité, qui soit un bicarré.
Tout le monde sait que les triangles sont : i, 3, i«, i5, 21, 28, 36, 45, etc.
Il n'y a absolument dans toute cette série, indéfiniment prolongée, aucun bicarré, sauf l'unité.
5. Enlin, pour ne pas paraître me réfugier dans les nombres faute tie propositions géométriques, en voici quelques-unes, qui ne rougiront pas de se montrer en Angleterre. Les deux premières sont tirées de ma restitution des porismes d'Euclidc.
Soit sur le diamètre AB (^g. 90) le demi-cercle ANB; prenez en N le milieu de la demi-circonférence ANB, joignez NA, NB, et élevez en A, B les perpendiculaires AD, BC, égales à AN ou NB. Prenez sur la demi-circonférence un point quelconque E, joignez DE, EC, qui couperont le diamètre aux points 0 et V. Je dis que dans ce cas on aura AV--f-BO-r=AB'.
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Dans mon Traité, j'ai énoncé ce théorèmo ou problème sous une t'ovmc, plus générale, mais, pour le moment, il suffit de ce cas particul ier.
Fis- 90.
. Soient une paral>ole quelconque AMC {/ig. 91), A, lï deux points. quelconques pris sur cette parabole, MN un diamètre quelconque. Prenez sur la parabole un autre point quelconque C et joignoz-ie ;i A l't B. Vous couperez ainsi le diamètre toujours dans le même rapport.
Car si vous prenez un autre point quelconque, tel que D, vous aurez MO : OV : : MI : IN; les segments interceptés sur le diamètre seront toujours dans le même rapport.
Voilà des propositions que j'ai découvertes et démontrées et que j'offre en échange du théorème sur le tronc de cône oblique.
6. Mais je u'Iiésite pas au reste à proposer aussi en cette matièri^ aux Anglais des questions que je n'ai pas encore complètement résolues.
Ktant donnés des points, des droites et des cercles, trouver une
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[407, 408, 4i6J TRADUCTION DES PIECES LATINES. 319
parabole qui passe par les points donnés et touche les di-oitos ou les cercles donnés.
Il suffi È de quatre données. Par exemple : Etant donnés deux points. une droite et un cercle, trouver une parabole qui passe par les points donnés et soit tangente à ia droite et au cercle donnés. Il y a en tout quinze problèmes.
Je propose la même chose pour les ellipses ou les hyperboles ; mais, dans ce cas, il faut cinq données, points, droites ou cercles : ce qui fait en tout 2i problèmes.
Dans mon Traité des contacts sphériqiies, j'ai autrefois traité les problèmes analogues pour la sphère et notamment résolu avec bonheur la question suivante : Étant données quatre sphères, en trouver une cinquième qui soit tangente aux quatre sphères données.
Vous pourrez trouver ce Traité complet chez M. de Carcavi.
J'inviterai enfin vos éminents correspondants à mettre de côté tant soit peu les formules de l'Analyse et à traiter les problèmjis de Géométrie par la méthode d'Euclide et d'Apollonius, car il est à désirer que l'on ne voie pas se perdre peu à peu, dans les constructions et les démonstrations, cette élégance à laquelle visaient surtout les anciens, comme le prouvent assez les Données d'Euclide et les autres livres d'Analyse énumérés par Pappus, livres dont j'ai jadis complété la restitution en ajoutant aux travaux de Viète, de Ghetaldi et de Snellius mes Traités des lieux plans, des lieux solides et de ligne, des lieux en surface et des porisrnes, Traités que M. do Carcavi a également tous entre les mains.
(Loltri; de Fermât à Carcavi, juin i66o.)
1. En supposant la quadrature de l'hyperbole, on peut obtenir un
cercle de surface équivalente à la surface courbe engendrée par la rotation d'une parabole autour d'une ordonnée.
Soit donnée la parabole AD {fig- gS) ayant AE pour axe, DE pour ordonnée ou demi-base, ABC pour côté droit. On flemande de cou-
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slruirc un cercle dont la surface soit équivalente à celle de la surface courbe du solide engendré par la rotation de la figure ADE autour de l'ordonnée DE.
Fis. 9^-
Prenez en lî la moitié du côté droit AC, prolongea l'axe AE d'une droite EF égale à AB ou à la moitié du côté droit, et joignez DF. Construisez à part {fig- 96) une droite IQ égale à l'axe AE et prenez-en le double IR. Faites FE nu AB : DF : : QI : QH, et par le poini H
Fig. ç,'i.
meiîez HG perpendiculaire à IIIR et égale à DE. Décrivez uuc hyperbole TG ayant I pour sommet, IR pour axe transverse, Q pour centre et passant par le point G. Décrivez également à part une autre hyperbole ;(yant pour axe transverse MN égale au quart du côté droit de la
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IIW] TliADUCTlON DES l'IECES I.VTINES. :(:>1
|Kiriib(ilo (c'cst-à-tlirc que MN = i AC), pour centre V, t'L pour cùlé iln)it OVP égale à l'axe transverse. Soient MK cette hyperbole, M son sommet, ML son axe qu'on prolongera jusqu'à ce qu'il soit égal à l'axe AE de la parabole, enfin LK la perpendiculaire ou ordonnée en I.. Construisez un carré égal à l'excès du rectangle QH x HG sur l;i somme des doux aires hyperboliques IGH. MKL, dont on suppose la quadrature. La diagonale de ce carré sera lo rayon du cercle équivalent à la surface courbe dont nous cherchons la mesure.
2. Soit la cycloïde primaire ANIF {^fig- 97) d'axe AL), de demibase DF. Construisez ii l'intérieur ou à l'extérieur d'autres courbes telles que leurs ordonnées soient dans un rapport constant avec celle de la cvcioïdo.
Par exemple, GFD, HIC, MiNlî étant des ordonnées de la courbe extérieure AMHG, je suppose que le rapport GD : DF est donné et qmi l'on a GD : DF :: HC : Cl :; MB : BN. De même pour la courbe intérieure AROE, je suppose donné le rapport FD : DE avec l'égalité des rapports FD : DE : : IC : CO : ; NB : RB.
Je dis que les arcs des courbes extérieures, comme AMHG, sont toujours égaux à la somme d'une droite et d'un arc de cercle; que les arcs des courbes intérieures, comme AROE, sont toujours égaux à des arcs de paraboles primaires ou d'Archimède.
Je vous communiquerai, dès que vous le désirerez, l'énoncé du théorème général et sa démonstration.
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Dl: Pf.iir. Jacquks dk BI LL V.
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