CONSEILLER AU PARLEKEST DE TOULOUSE
Savant lei;te[jr.
Il suffît qu'en tèto de eet Ouvrage apparaisse le nom de Fermât, pour que vous attendiez quelque chose de grand; un tel homme n'a rien pu imaginer qui soit petit, rten même qui soit médiocre; son esprit était illuminé de tant de clartés qu'il ne souffrait rien d'obscur; vous eussiez dit un soleil qui en un instant dissipe les ténèbres, et dont les rayons innombrables portent une éclatante lumière au sein même des abîmes, .lusqu'à présent Diophante a provoqué, et cela à juste titre, une admiration universelle; mais, pour grand qu'il soil, ci' n'est qu'un pygmée par rapport à notre géant, qui a accompli le tour immense du monde mathématique et parcouru de nouvelles régions inconnues à tout autre; Viète a été célébré par tous ceux qui, pendant notre siècle, se sont occupés des opérations algébriques, et pour la renommée de quelqu'un il suffît qu'on puisse dire de lui que, dans l'Analyse, il a pénétré la pensée de cet auteur; Viète cependant n'a pas atteint le sommet de la Science, comme le montreront les nombreux exemples développés ci-après; si Claude-Gaspar Bachet n'avail pas été pour moi un intime ami. je n'en aurais pas moins une eon-
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staiile admiration pour la singulière subtilité de son analyse; ses travaux sur Diophante montrent assez clairement jusqu'à quel point sa vue était pénétrante dans les questions numériques; cependant elle est encore faible sî on la compare à celle de notre Linceo, qui lui dévoile ce qu'il y a de plus abstrus.
Mais pour ne pas recommander par son nom seul ce petit Traité, je veux dès maintenant dire en quelques mots quelles récentes découvertes lui sont dues et quelle en est la portée. En premier lieu, il y a certaines équations doubles dilFicifos pour lesquelles les analystes n'ont pu jusqu'à présent trouver qu'une solution unique; Bachet luimême affirme qu'on ne peut en trouver deux, tandis que Fermât va en donner tout à l'beure une infinité, sans être arrêté par les nombres faux et plus petits que zéro qui se présentent souvent dans les calculs de ce genre; il les soumettra en effet à un subtil traitement qui les réduit immédiatement à des nombres vrais. En second Heu, personne, que je sache, n'a encore résolu d'équation triple, à moins de l'avoir d'avance formée artificiellement et combinée de telle sorte que la soUilion en apparaisse immédiatement, même aux yeux des novices; Fermat a trouvé une métbode singuliiire pour résoudre les équations arbitrairement proposées de ce genre, en exceptant un seul cas que nous indiquerons ci-après. En troisième lieu, qui jamais a donné autant de s(dutions que l'on veut pour les expressions composées de cinq termes de degrés successifs? Qui, des racines primitives, a su en tirer de dérivées du premier ordre, du second, du troisième, et ainsi de suite indéfiniment? Personne sans doute; il Fermât seul appartient cette découverte, 11 n'a pas puisé ces inventions dans les ouvrages d'autrui, comme ont coutume de le faire certains arrangeurs, il les a tirées de son propre fonds, élaborées lui seul; et puisqu'il m'a fait l'amitié de me les communiquer dans ses lettres, je crois devoir les livrer ii l'impression, en commençant par reproduire textuellement, pour ne dévier en rien de sa pensée, un abrégé de toute sa méthode, auquel il a donné pour titre : Appendice à la Disserlalion de Claude-Gaspar Bachel. sur les doubles équations de Oiophante. Voici ses propres paroles :
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« Le subtil et savant analyste Bachet a distingué assez heureusement, à propos de la question VI, 24 de Diophantc, les divers modes et cas de l'équation double; cependant il n'a pas moissonné tout lichamp ouvert devant lui ; en effet, rîen n'empêche de donner des solutions en nombre indéfini pour les problèmes auxquels il n'en trouve qu'une ou deux tout au plus. Bien plus, il est aisé d'accomplir ce progrès et d'obtenir ce résultat par une opération facile.
» Soit proposé le sixième mode qu'il détaille assez prolîxemenl pages 1\3q et 4'i«: tous les cas qu'il a énumérés ('), grâce au procédé que je vais indiquer, sont susceptibles d'une infinité de solutions qui dérivent successivement de la première, si l'on réitère indéfiniment la même analyse.
1) Voici ce procédé : Cherchez la solution de la question proposée, selon la méthode ordinaire, c'est-à-dire celle de Bachet ou de Diophante; ayant ainsi obtenu une valeur numérique de l'inconnue, recommencez l'analyse, en prenant, pour valeur delà nouvelle inconnue, X plus le nombre trouvé précédemment comme solution. Le problème se trouvera ainsi ramené à une nouvelle équation double dans laquelle les termes indépendants de x se trouveront carrés, en vertu de l'emploi de la.première solution; par suite la différence entre les deux expressions se trouvera composée seulement de termes en ic* et en x, c'est- !i-dire de degrés consécutifs; cette nouvelle équation double pourra donc se résoudre d'après la méthode de Diophante ou de Bachet. La seconde solution ainsi obtenue permettra, par le même artifice, d'en calculer une troisième, celle-ci une quatrième, et ainsi de suite indéfiniment.
» Cette remarque, qui a échappé à Diophante, à Bachet et même .i Viète, comble la plus grave lacune que présente actuellement l'analyse de ces questions. 3fais le principal intérêt de ma découverte res-
(') Le sixième mode do Bachet correspond à l'ensemble des différents cas pour lesquels il obtient une solution de l'éqnation double sous sa forme générale :
rt,c'-i-ij:-^c = D, a^5-t-6'-<; + c'=n-
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328 ŒUVRES DE FEIUIAT.
sort surtout dans les problèmes, pour lesquels la première analyse lionne, comme valeur de l'inconnue, un nombre affecté du signe —, et qu'il faut par suite regarder comme plus petit que zéro. Ma méthode s'applique en effet dans ce cas, non seulement aux problèmes qui se traitent par des équations doubles, mais à tous en générai, comme on peut le reconnaître à l'essai.
» Voici la façon d'opérer : Cherchez, suivant le procédé ordinaire, (î'oi'r page 271, lignes 6 à tG) une solution en nombres vrais. » Ici s'arrête cet Appendice de Fermât,
Voici niaintenaul la matière de mon petit Traité; il est divisé en trois Parties : la première concerne les solutions en nombre indéfini des doubles équations, solutions qui peuvent d'ailleurs se présenter, soit avec le signe ■+-, soit avec le signe — ; la seconde Partie s'élève aux triples équations et révélera des secrets dont jusqu'à présent on n'a rien soupçonné; la troisième enfin aborde le problème de rendre égale à un carré une expression formée de cinq ou quatre termes, et (louLie le moyen d'obtenir des racines en nombre indétini, qui dérivent successivement des primitives.
PREMlERIi PARTIb:.
UES SOLUTIONS E^ NO.MiU'iL': l,M)r.ri.\l DANS LES DOUBLES ÉyUATIOiSS.
1. Il convient tout d'abord do rappeler brièvement la méthode ordinaire pour traiter une double équation. A^oici en quoi consiste cette méthode : On prend la différence des deux expressions qui doivent séparément être égalées à un carré; on choisit deux facteurs dont le produit forme cette différence, puis on égale soit à la plus grande expression le carré de la demi-somme des facteurs, soit à la plus petite expression le carré de la demi -différence des facteurs ; on obtient ainsi la valeur de la racine qui, substituée à l'inconnue dans chacune des deux expressions, donnera des nombres carrés. Je vais donner des
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exemples pour trois cas seulement, les autres pouvant être aisément ramenés à ceux-là.
2. Premier cas : Les expressions à égaler à un carré sont composées seulement d'un terme en x et d'un terme indépendant, comme les
deux suivantes :
La différence de ces deux expressions est 7 = 7 x i; la somme des deux facteurs est 8, et le carré de la demi-somme est 16. J'égale donc 10 = 20; -H j 2, d'où 2 pourlavaleurdea; dans chaque expression. Autrement la différence des mêmes facteurs est G, le carré de la demi-différence est 9, que j'égale à la plus petite expression, 2^ + 5; d'où la mémo valeur x ■= 1.
Les deux expressions donnent nécessairement, par substitution, les carrés iC) et 9.
3. Second cas : Les expressions sont composées de fermes en x-, en X, et indépendants ; de plus les coefficients de a;* sont carrés. Par
exemple :
La différence e3tiGj;-)-i6=4x (4^ + 4); '^ somme des facteurs : ^x -+- 8, le carré de la demi-somme : 4^^ + iGx + 16. En égalant à la première expression, on aura a; = 2.
Remarquez que dans ce cas, parmi les couples, en nombre indéfini, des facteurs dont le produit donne la différence ci-dessus, il faut choisir celui où le coefïicient de x est double de la racine carrée du coefficient de x^ dans chacune des deux expressions (on le suppose le même dans l'une et dans l'autre); c'est ainsi que nous avons pris ^x, pour que le carré de sa moitié fasse {\x^.
Les deux expressions donnent, après substitution, les carrés 6/1 etiti.
4. Troisième cas, celui qu'il importe surtout de remarquer, car c'est
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cekii qui nouri servira 1g plus souvent : Dans chacune tlos deux expressions, le ternie indépendant de œ est un carré ; ce peut d'ailleurs être le même carré, ou bien il peut différer de l'une h l'autre, comme si l'on a, par exemple,
x-—S.x-hiC)=n, 3:»^— 48,77 -h 6.'| = n-
Mais alors on divisera le plus grand carré par le moindre, Cy''\ par iG. et l'on multipliera la plus petite expression par le quotient 4 ; on aura ainsi deux expressions, dans lesquelles les ITermes connus seront des carrés égaux :
^x- — 'i2.x -H 64 = D, 3,*^— -',Sx + 64 =:a-
Leur différence ic=+ 160; = x(x -h 16). Remarquez que je prends iG comme terme connu du second facteur, parce que c'est le double de S qui est la racine du carré commun aux deux expressions. La somme des deux facteurs est 2x + iG; le carré de leur demi-somme est a;- 4- 16 a: -h 6-4; je l'égale à 4^'— 32ar + G4; et j'obtiens œ^iij. D'où, en substituant dans les expressions proposées, les carrés i44 et G 4.
Règle générale pour obtenir en nombre indexai des solutions de doubles équations.
5. Prenez la valeur de la racine obtenue par la méthode ordinaire, et joignez-la 'ax, en lui maintenant son signe, soit +, soit — ; substituez à X cette nouvelle expression de la racine dans les termes de la double équation donnée; vous aurez de nouvelles expressions à égaler à un carré; cherclicz alors la valeur de x par la méthode ordinaire, suivant le troisième cas que je viens de donner et sur lequel j'ai appelé l'attention; cette nouvelle valeur, qui rend carrées les nouvelles expressions formées, devra maintenant être jointe à la première valeur obtenue, en tenant compte des signes -f- ou — ; on obtiendra
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TlîADliCTION DE L'INVENTUM NOVIIM. 3Zi
ainsi une seconde valeur de x rendant carrées les expressions primitivement proposées.
