Soit par exemple la double équation

En dehors de ia solution immédiate « = 2, on trouvera encore, par la méthode ordinaire, x = j- ie vais me servir de ces deux valeurs pour en tirer de nouvelles solutions; je prendrai, en premier lieu, suivant la règle, comme nouvelle représentation de l'inconnue, x-i- 2. Substituant à X dans la première expression égalée à un carré, c'està-dire 4^ + I. j'ïii 4^"!- 9 (si en cifet x devient a; -1- 2, Ifx deviendra 437-1-8 et en ajoutant i, terme connu de l'expression, il vient 4^-1-9)- De même, substituant x+-2 a x dans la seconde expression, x" ~ 2x -h 1 , on aura à égaler à un carré la nouvelle expression x^-i- 2x -i- Ç) (*). Si l'on en retranche la précédente, c'est-ii-dirc f^œ ~\- g, et qu'on achève l'application à cette double équation de la

règle ordinaire, on obtiendra x=^; en y ajoutant 2 ('puisque la nouvelle représentation de l'inconnue est x -h 2), on aura -^ comme nouvelle valeur de l'inconnue pour le système proposé.

velle; je prends pour inconnue x -h j, et je substitue cette représentation à X dans les expressions 4^ + 1 et x^—ix-hi; il vient f^x -i~ ^ et x'^ 1 — p-- Les termes indépendants de x étant carrés

(') Billy pi'end absurdcraciit pour seconde expression : ^-— a.r-f- 1, qui esl identiquement un carré.

(2) Erreur de calcul, le résultat de la substitution élanl x^-\-'i3: + t. Néanmoins la

valeur -y satisfait à la double équation, par suite de la circonstance signalée dans la note

précédente.

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tic parL ftt d'autre, la double équation pourra être résolue comme il a été dit n''4 pour lo troisième cas; on trouvera x = -^, et en ajoutant 7 pour représenter l'inconnue], on obtiendra ■'^ comme nouvelle valeur de l'inconnue dans le système proposé.

8. Nous avons ainsi des secondes valeurs dérivées des premières; de ces secondes on peut en tirer des troisièmes en employant exactement le même procédé. Ainsi, soit à dériver une troisième valeur de

para;-f-— , que je substitue k œ dans les expressions /|^-i-i et it'- — 2iC -t- I, ainsi que j"ai déjà expliqué; j'obtiens ainsi

^x -i- iQ et .^--4- ■— .J7+ ^,

expressions où les termes indépendants de x sont carrés; j'en déduis

X ~ — f^ Q o — ; j ajoute —I u après la position pour 1 inconnue,

. ., - Il - 3iS6'îfio6(i-j I - 1 i-j. ■ 1 I

et 1 ai, pour celle-ci, + , ,-, ■,.■1 valeur ciui, substituée dans les

■' ^ aoi2.'i43i7t> '

expressions proposées, donnera des nombres carrés (').

9. On voit ainsi qu'on peut trouver un nombre indéfini de solutions; les premières en procurent en effet du second ordre, celles du second ordre en procurent du troisième et ainsi de suite indéfiniment. Dans l'exemple donné, nous avons de la sorte obtenu cinq solutions différentes, et des dernières on peut de même en tirer de nouvelles; par conséquent, toute double équation a un nombre indéfini de solutions, c. q. v. «.

(') Billy aurait dû aupprimer les facteurs communs; il aurait trouvé ainsi pour l'in- 35 9i5i3 80867 IU769 ~~

connue la valeur ; — ■ ■ t- = ■: — ~ • Ces divers exemples ne peuvent 6ire attribués

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TIIADTJCTION DE L'INVKXTUM ÎVOVLM, :!3;t

Il ne faut pas se décourager, si l'on rencontre comme wliuiim (les nombres faux ou plus petits que séro.

10- Il arrive assez souvent que les calculs conduisent à des nombres Taux; dès lors, faute d'expérience, on perd aussitôt courage et on se figure être tombé sur un cas d'impossibilité. J'affirme, au contraire, avec notre Fermât, que même alors oti peut déduire une solution du résultat obtenu,