Suit encore proposén ia doubla équation
x'-~^x + if:> = U, 3^^ + 48jc + 6.'i = n-
La méthode ordinaire (') donne la va1euric= iG. Il faut donc subhlituer a; + iG à x dans les deux expressions qui, ainsi îransi'ormées, deviennent
a;^+24^-h556 = D, 3j'^ + i4/|.r + i6oo — n-
On ne peut pas prendre pour différence ^x--\- iiox ^ i'M\\, puisqu'il serait impossible d'arriver ainsi à la solution. Que faut-ii donc faire? Ce que nous avons déjà indiqué et répété : divisez iGoo par sSG et multipliez par le quotient -;- l'expression x- + 24^7 + aSG; le produit -j-x--]-ioox -1-1600 avec l'autre expression 3^- -1- ïl\\x + iGoo donne un système dont la diiférence sera formée de termes eu œ^ et x; il sera donc possible d'obtenir une nouvelle solution.
Ce procédé est applicable à la solution non seulement de la double équation, mais aussi d'autres équations quelconques.
17. C'est un champ très fertile que celui que nous avons commencé ;i cultiver; car la méthode de Fermât peut fournir une inlinilé ilc
l ' ) Billy s'est oiieore trompé ici, probablement en prenant la solution du n" -t pour un système où la valeur absolue des coefficients est la même. Cette solution satisfait ici aeeidentellement ; mais, en opérant la substitution dans la première expression (laquelle au reste est identiquematit un carré), Billy a do plus commis une erreur de calcul, puisqu'il aurait dû trouver : j:--i- 'ii.c-i- 144.
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solulions non seulement pour les doubles équations, mais encore pour les autres. Soit par exemple proposé de trouver un nombre doVit le produit par 12, retranché de la somme de 8 fois son carré et de 8, fasse un cube. Soit x ce nombre; il faut que Sx- — 12a: -t- 8 fasse un cube. Prenons 2 — a; pour racine de ce cube ; on aura
faux nombre qui satisfait à la question. Pour en avoir un vrai, substituons ^ — 2 h a: dans l'expression proposée 8ic^ — i2iK + 8; la transformée sera 8x^ — 44^ + 64 à égaler à un cube. On prendra pour
racine de ce cube 4— ~r^(4 étant la racine cubique de G4, l('rmii connu de la transformée, — a; est le quotient obtenu en divisant 44*'< terme en œ de la transformée, par 3 fois le carré de la racine cubique 4, c'est-à-dire par 48). En formant le cube du binôme ci-dessus, j'ai
64 — 44* -i — r*^ ô-^' à égaler à la transformée Sx^ — l[^x-\- 64,
d'où je tirer = 2 -%t-' Si je retranche 2, puisque j'ai pris x — 2 pour représenter l'inconnue, j'aurai pour celle-ci la valeur -^ • C'est le nombre cherché ; si l'on forme son produit par 1 2 et si on le retranche
de la somme de 8 fois son carré et de 8, on obtient le cube --^—-^
dont la racine est ^^■
18. Supposons encore qu'on demande un triangle rectangle dont
l'aire, ajoutée à l'hypoténuse, fasse un carré. Je forme ce triangle
des nombres ic -H I et x; les côtés seront 2x- +■ 20^ -{- 1 , 20! + 1,
2x^ ■+- 2x. J'ajoute l'aire 2.r'-i- 3a:* ■+- x à l'hypoténuse ix^ + zx +1;
j'ai 2a:* -+- Sa?" + 3x + I à égaler a un carré. En prenant pour racine
