Soit encore ii résoudre la double équation

On peut en obtenir trois solutions; la première en prenant la différence des deux expressions, qui est 168a:* -f- B'^ZGx, et en la décomposant en deux facteurs dont le binôme aura pour ferme connu 26, c'est-à-dire le double delà racitie de 169; c'est là la méthode ordinaire. En second lieu, on peut ramener à l'égalité les coefficients carrés de x^, en multipliant par i6g les trois termes do la seconde expression, comme je l'ai expliqué au n" 4. En troisième lieu, on peut prendre comme facteurs i4^ et 12^-1- - — -, dont la s(]mtnL% comme terme eux. aura 26a;, c'est-ii-dirc le double de la racine de î6ç)x'. C'est là la méthode de Fermât qui donne la valeurs = ^° °'^J' ■

23. On pourra dire que cette méthode est ingénieuse, mais inutile, en tant qu'elle procède seulement avec des facteurs trouvés par artifice et combinés de telle façon que leur produit donne la différence des expressions à égaler à des carrés et que dans leur somme figure un terme double de la racine du terme en x^ de la plus grande des deux expressions. Mais on ne peut faire cette objection que si l'on ignore que c'est cette méthode qui a fourni la solution d'an très beau et très difficile problème, lequel a fait le tourment de tous les analystes et qui serait demeuré sans réponse, si par son procédé Fermai

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340 ŒOVRES DE FERMAT.

ne fiif arrivé à délier lo nœud gordien. Celui qui accuserait cette méthode d'inutilité peut au reste voir la solution de dlvoi's problèmes donnés ci-dessous n'"45, 47, 48, 50. Il est d'ailleurs facile de reconnaître comment on doit former les facteurs en question; il suffit en eff'et de prendre le double de la racine du coefficient de x^ dans la plus grande des deux expressions, et de partager ce double en deux nombres dont le produit fasse la différence des coelficients de x'. Ainsi dans le premier exemple on prend ro; on le partage en deux nombres dont le produit est i6. On trouve ainsi 8 et 2; de même pour les autres cas.

Aptes (jue l'Analyse a trouvé les solutions primitives, on en obtient de nouvelles en réitérant l'opération.

24. 11 arrive assez souvent que dans un problème le calcul conduise h de faux nombres; j'ai déjà montré ci-dessus comment l'artifice analytique de Fermât remédie à cet inconvénient, mais je vais donner aussi un moyen singulier dont les résultats sont innombrables : ce moyen c'est l'opération réitérée; toutefois, pour qu'elle aboutisse. Il faut emprunter à l'Analyse les nombres primitifs à prendre dans la seconde opération.

25. Soit, par exemple, à chercher un triangle rectangle dont l'hypoténuse soit un carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit. Je forme ce triangle des nombres simples a; h- 1 et a: ; les trois côtés seront dès lors : ix^-h 2ic + r, ax-hi, ix^ -^ ix. Il faut égaler à des carrés, d'une part l'hypoténuse ix- -\- ^x -\- \ ; de l'autre, la somme des côtés de l'angle droit : ix^^ ^^x + 1 . La méthode ordinaire donne la valeur a; = Les deux nombres générateurs du

triangle seront donc et '-> ou, si l'on prend les numérateurs

seulement, pour avoir des entiers, — 5 et — 11, d'où le triangle : 169. 119. 120. J'infère de là que, pour résoudre le problème, il fallait 4'^bord trouver un triangle rectangle dont l'hypoténuse fût un carré.

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en même temps que la différence des côlés de l'angle- droit. Cette conclusion résulte forcément de l'analyse qui précède et ce triangle est : 169.119.1 20, formé de — 5 et — 12 ou de +5 et +12. Je réitère donc l'opération et je forme le triangle cherché des nombres a: -+- 5 et 12. J'arrive ainsi, grâce à ce triangle primitif, comme on le verra plus clairement sous le n" 45, à une double équation qui ne donnera plus de faux nombres, mais bien des nombres vrais.

26. Soit encore à chercher un triangle rectangle tel que le produit de l'hypoténuse et de la somme de l'un des côtés de l'angle droit et de la moitié de l'autre fasse un carré, après que de ce produit on aura retranché l'aire du- triangle. Je le forme des nombres simples i et X -\-\; les côtés seront a;^ + 20? -h 2 ; x^ -^o-x', ix -H 2. J'ai donc à multiplier x^ -\- ix -\- ^ par »;* + 3a; + i, et à retrancher du produit : X"' -I- Sa;* + 9^- + 8a; H- 2, l'aire ; a;' -1- 3a;* -t- ix. Le reste

est à égaler à un carré ; je prends pour ce carré

et j'obtiens a; — — -■ Si nous nous arrêtions ici, le second côté du

triangle, .i»^+ 2a;, serait plus petit que zéro et la solution inacceptable. Je réitère donc l'opération en formant le triangle des nombres

iiî + i et 2; les côtés sont dès lors : a!^ + 2x-i-5; ic'-i-2a; — 3; l\x ~\- [\; le produit de l'hypoténuse par la somme de l'an des côtés et de la moitié de l'autre, donne, après retranchement de l'aire, a;'-)-4i»' + 6a;' -t- 2oa;-i- I que j'égale au carré (n- loa; — x^)^;

j'obtiens ainsi un nombre vrai, a; = -^- D'après les positions, ii faul donc former le triangle des nombres ^ et 2, ou, en prenant des entiers, 29 et 12. Les côtés du triangle cherché seront 985.697. 696. JVous serions arrivés au même résultat en substituant, x ~ -a x dans

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réquation x" -+- l^x'^ + 6a;^ + 6^ + 2 = G. qui dcvitiiit par cplto substitution x'^ + ix^ -^ -x'^ -^ -X +■ ~ =n, soit U -^5x — xA^\ d'au x~—- En rctraachant -. j'ai ^ pour la valeur de l'inconnue clans

les premières positions, d'après lesquelles j'aurai en eonséqiicnee ii former le triangle des nombres entiers 29 et [ 2.

2T. Soit enfin à chercher un triangle rectangle dont l'hypotéiiuse soit un carré, aussi bien que la difTérencc des côtés de l'angle droit. Si je prends les nombres ^ + 1 et i pour générateurs du triangle, les côtés seront : a;°+ 2ir-i- 2; a;*+ 2a;; 2x -i-2. Retranchez le dernier 2iCH-2 du moyen x'+nx; j'ai la différence : x^ — 2 qui doit être égalée à un carré, aussi bien que l'hypoténuse ^*+2a;+2. Cette

double équation me donne x = — -^; par suite, d'après les positions, les nombres générateurs du triangle seront — -^ et i, ou, en faisant disparaître le dénominateur, — 5 et -+- 12. On pourrait réitérer l'opération pour trouver le triangle demandé, mais on remarquera qu'il est immédiatement fourni par la formation de 5 et 12. On a en effet ainsi le triangle rectangle 169.1r9.120 dans lequel l'hypoténuse est un carré, aussi bien que la différence des côtés de l'angle droit.

Bachet trouve une impossilnlilé là où Fermai donne une, solution facile.

28. Je dois avouer qu'à la vérité la méthode ordinaire donne une inlinité de solutions pour nombre de questions, quand, par exemple, dans la double équation, les expressions sont formées de termes en x différents et d'un même terme connu carré; il est aisé, en effet, dans ce cas de trouver autant de solutions que l'on veut; c'est pourquoi lîachet, dans ses remarques sur Diophante, VI, 24, après avoir donné une solution unique par son second mode de solution des doubles équations, en fournit une infinité par son quatrième mode. Mais il y a d'autres doubles équations moins maniables pour lesquelles les mé-

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tliodos ordinaires ne fournissent qu'une solution ou deux au plus; ol par suite, le célèbre commentateur de Diophante dit, au même endroit, qu'on ne peut obtenir qu'une solution unique lorsque les expressions sont composées de trois ternies et que leur différence n'en comporte qu'un seul; ou bien lorsque les expressions sont formées l'une de trois termes, l'autre de deux seulement, le terme carré étant d'ailleurs le même de part et d'autre; ou enfin lorsque les expressions sont seulement formées de deux termes, l'une d'un terme en x- et d'un connu, l'autre d'un terme en x et d'un connu; il ajoute encore qu'il y a deux solutions lorsque les cociïicients de x'^ et les ternu's connus sont des carrés. Tout en respectant ce grand matbématicicn, je puis dire que dans tous les cas qu'il a ainsi énumérés la méthode de Fermât procure une infinité de solutions; les exemples suivants voni le faire voir clairement.