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chère passion. Il étudiait la géométrie jusque dans sa lente. Ce n’étail pas seulement pour étudier qu’il s’y relirait, c’était aussi pour cacher son application à l’étude. Car il faut avouer que la nation française, aussi polie qu’aucuhe nation , est encore dans cette espèce de barbarie , qu’elle doute si les sciences poussées à une certaine perfection ne dérogent point , et s’il n’est point plus noble de ne rien savoir. Il eut si bien l’art de renferme!’ ses talens et d’être ignorant par bienséance, que tant qu’il fut dans le métier de la guerre, les gens les plus pénétrans sur les défauts d’autrui ne le soupçonnèrent jamais d’être un grand géomètre; et j’ai vu moi-même quelques uns de ceux qui avaient servi en même temps, fort étonné! de ce qu’un homme qui avait vécu comme eux et avec eux, se trouvait être un des premiers mathématiciens de l’Europe.

11 fut capitaine de cavalerie dans le régiment colonel-général; mais la faiblesse de sa vue, qui était si courte, qu’il ne voyait pas à dix pas, lui causant dans le service des inconvénîens perpétuels qu’il avait longtemps et inutilement tâché de surmonter, il fut enfin obligé de se rendre , et quitter un métier où il pouvait espérer d’égaler ses ancêtres.

Dès que la guerre ne le partagea plus, les mathématiques en profitèrent. Il jugea, par le livre'de la Recherche de la Mérité , que son auteur devait être un exéellent guide dans les sciences; il prit ses conseils, s’en servit utilement, et se lia avec lui d’une amit^|pui a y duré jusqu’à la mort. Bientôt son savoir vint au point de ne pouvoir plus être caché. Il n’avait que trentedeux ans lorsque des problèmes tirés de la plus sublime géométrie, choisis avec grand soin pour leur difficulté,

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el proposés à tous les géomètres dans les actes de Leipsick , lui arrachèrent son secret, et le forcèrent d’avouer au public qu’il était capable de les résoudre.

Le premier fut celui-ci, proposé en 1693 par Bernoulli , professeur en mathématiques à Groningue. « Trouver une courbe telle que toutes ses tangentes » terminées à l’axe , soient toujours en raison donnée » avec les parties de l’axe interceptées entre la courbe » et ces tangentes. » 11 ne fut résolu que par Leibnitz en Allemagne, par Bernoulli en Suisse, frère de celui qui l’avait proposé , par Huyghens en Hollande, et par l’Hôpital en France.

Huyghens avoue dans les actes de Leipsick , que la difficulté du problèiiffe l’avait fait d’abord résoudre à n’y pointpenser; mais qu’une question sinouvelle avait troublé son repos malgré lui , l’avait persécuté sans relâche, et qu’enfin il n’avait pu y résister. On jugera aisément de quel genre pouvait être en matière de géométrie, ce qui paraissait si difficile à Huyghens.

Tous ceux qui savent au mbins les nouvelles des sciences, ont entendu parler du célèbre problème de la plus vite descente. Bernoulli de Groningue avait demandé dans les actes de Leipsick , « supposé qu’un » corps pesant tombât obliquement à l’horizon , quelle » était la Kgne courbe qu’il devait décrire pour tom- » b'er le plus vite qu’il fût possible? » Car, comme il a été dit dans l’histoire de l’académie des sciences de i699|«Bt67, ce paradoxe assez étonnant était démontré, que ltHigne droite , quoique la plus courte de toute les lignes qui pouvaient être tirées entre les deux points donnés , n’était point le chemin que le corps devait tenir pour tomber en moins de temps. 11 était certain

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d’ailleurs que la courbe en question n’était point un cercle, comme Galilée l’avait cru; et la méprise d’un si grand homme peut servir à ftire sentir la difficulté du problème. Bernoulli proposa cette énigme au mois de juin 1696, et donna à tous les mathématiciens de l’Europe le reste de l’année pour y penser. 11 vit que ces six mois n’étaient pas suffisans, il accorda encore les quatre premiers de 1697; et dans ces dix mois, il ne parut que quatre solutions. Elles étaient de Newton, de Leibnitz , de Bernoulli de Bâle , et du marquis de l’Hôpital. L’Angleterre, l’Allemagne, la Suisse et la France fournirent chacun un géomètre pour ce problème.

On trouve ces mêmes noms à la tète de quelques solutions semblables dans les actes de Leipsick ; et ils y semblent être en possession des connaissances les plus rares et les plus élevées.

On a même rapporté dans l’histoire de ^700, page 78, un problème proposé, comme presque tous les autres, par Bernoulli de Groningue , et qui n’a été résolu que par M. de l’Hôpital. Il s’agissait « de trouver dans un » plan vertical une courbe telle qu’un corps qui la » détruirait, descendant libreirtent, et par son propre » poids, la pressât toujours dans chacun de ses points » avec une force égale à sa pesanteur absolue. » On a tâché de faire sentir alors les diflerens embarras de ce

problème , c’est-à-dire sa beauté. Les géomètres d’aujourd'hui ne sont pas aisés à contenter sur les difficultés; et ce qui a fait sortir Archimède du bain pour crip^ par les rues de Syracuse, Je l’ai trouvé, ne serait^ pour eux une découverte bien glorieuse.

L’histoire de l'académie de 1699, p. 95, a pari '^ncoie d’une solution du marquis de l'Hôpital , où ^ autres

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auraient pu atteindre. Newton , dans son excellent livre des Principes mathématiques de la philosophie naturelle , a donné la « figtare du solide qui fendrait l’eau, » ou tout autre liquide, avec le moins de difficulté » qu’il fut possible. » Mais il n’a point laissé voir par quel art ni par quelle route il est arrivé à déterminer cette figure. Son secret lui a paru digne d’être caché au public. Fatio, géomètre fameux, se piqua de le découvrir, et il envoya à M. de l’Hôpital une analyse jmprimée. Elle contenait cinq grandes pages in-4 0 , presque toutes de calcul. M. de l'Hôpital, effrayé de la longueur , et paresseux d’une manière nouvelle, crut qu’il aurait plus tôt fait de chercher lui-même cette solution. Il l’eut effectivement trouvée au bout de deux jours, et elle était simple et naturelle. C’était là un de ses grands talens. Il n’allait pas seulement à la vérité, quelque cachée qu’elle fût, il y allait par le chemin le plus court. Une espèce de fatalité veut qu’en tout genre les méthodes ou les idées les plus naturelles ne soient pas celles qui se présentent le plus naturellement. On se met presque toujours en trop grands frais pour les recherches qu’on a entreprises, et il y a peu de génies heureusement avares, qui n’y fassent que la dépense absolument nécessaire. Ce n’est pas qu’il ne faille de la richesse et de l’abondance pour fournir aux dépenses inutiles; mais il n’y a plus d’art à les éviter, et même plus de véritable richesse.

Il serait trop long de rapporter ici tous les chefsd'œuvre de géométrie dont M. de l’Hôpital et le petit nombre de ses pareils ont embelli les journaux pu d’Àllemagnp ou de France. On soupçonnera sans doute que , pauï entrer dans ces questions qui leur étaient

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réservées, ils devaient avoir, outre leur génie uaturel, quelque clef particulière qui ne fût qu’entre leurs mains. Ils en avaient une en effet, et c’était la géométrie des infiniment petits , ou du calcul différentiel , inventée par Leibnitz, et en même temps aussi par Newton, et toujours ensuite perfectionnée et par eux , et par Bernoulli , et par M. de l’HôpitaL

L’illustre Huyghens , qui n’était point l'inventeur du calcul différentiel comme Leibnitz, qui ne l’avait point, employé dans toutes ses études géométriques comme M. de l’Hôpital et Bernoulli, qui était parvenu sans ce secours à des théories très élevées, et s’était fait line réputation des plus brillantes, qui pouvait, à la manière des autres hommes , et peut-être plus légitimement , mépriser ce qu’il ne connaissait point, et traiter d’inutile ce qui ne lui avait pas été nécessaire pour ses grands ouvrages, avait jugé cependant, etpar le mérite de cette méthode , et par les miracles qu’il en voyait sortir, qu’elle était digne qu’il l’ étudiât. Il avait été assez grand homme pour avouer qu’il pouvait encore apprendre quelque chose en géométrie : il s'était adressé à M. de l’Hôpital, qui ayait presque la moitié moinsd’àge que lui , pour s’instruire du calcul différentiel; et sans doute ce trait de la vie de M. de l’Hôpital est encore plus glorieux à Huyghens qu’à lui.

Ce n’est pas que Huyghens ne connût déjà par luimême le pays de l’infini , où l’on est conduit à chaque moment par le calcul différentiel ; il avait été obligé de pénétrer jusque-là dans quelques unes de ses plus subtiles recherches, surtout dans celles qu’il avait faites pour l’invention immortelle de la pendule : car la fine géométrie ne peut aller loin sans percer dans l’infini.

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Mais il y a bien de la différence entre savoir en général la carte d’un pays , ou en connaître en particulier toutes les routes, et jusqu’à ces petits sentiers qui épargnent tant de peines aux voyageurs.

Huyghens était alors en Hollande , où il s’était retiré après avoir quitté Paris, et l’académie des sciences, dont il était un des principaux orneinens. 11 parait par beaucoup de lettres de lui , qu’on a trouvées dans les papiers de M. de l’Hôpital , et surtout par celles qui sont des années 1692 et 1693, qu’il consultait à M. de l’Hôpital ses difficultés sur le calcul différentiel; que quand quelque chose l’arrêtait , il ne s’en prenait pas à la méthode, mais à ce qu’il ne la possédait pas assez ; qu’il voyait avec surprise et avec admiration V étendue et la fécondité de cet art ; que de quelque côté quil tournât sa vue , il en découvrait de nouveaux usages; qu'enfn , ce sont ses termes , il y concevait un progrès et une spéculation infinie. Il a même déclaré publiquement dans les actes de Leipsick , que sans une équation différentielle , il ne serait pas venu à bout de trouver la courbe , dont les tangentes et les parties de l’axe sont toujours en raison donnée. « Et même ajoute-t-il dans les mêmes actes , il » faut remarquer dans ce problème une analyse nou- » velle et singulière , qui ouvre le chemin à quantité » de choses sur la théorie des tangentes , comme l’a » très bien observé l’illustre inventeur d’un calcul, ». sans lequel nous aurions bien de la peine à être admis » dans une si profonde géométrie. » Il écrivit en même temps à M. de l’Hôpital, qu'il devait à ses enseignemens cette équation différentielle qui lui avait donné le dénoùment du problème.

Jusques-là la géométrie des infiniment petits 11’était

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encore qu’une espèce de mystère * et, pour ainsi dire, une science cabalistique renfermée entre cinq ou six personnes. Souvent on donnait dans les journaux les solutions, sans laisser paraître la méthode qui les avait produites; et lors même qu’on la découvrait, ce n’étaient que quelques faibles rayons de cette science qui s’échappaient, et les nuages se refermaient. aussitôt. Le public, ou, pour mieux dire, le petit nombre de ceux qui aspiraient à la haute géométrie , étaient frappés d’une admiration inutile qui ne les éclairait point , et l’on trouvait moyen de s’attirer leurs applaudissemens, en retenant l’instruction dont on aurait dû les payer.

M. de l’Hôpital résolut de communiquer sans réserve les trésors cachés de la nouvelle géométrie , et il le fit dans le fameux livre de X Analyse des infiniment petits qu’il publia en 1696. Là furent dévoilés tous les secrets de l’infini géométrique, et de l’infini de l’infini ; en un mot, de tous ces différens ordres d’infinis , qui s’élèvent les uns au-dessus des autres, et forment l’édifice le plus hardi que l’esprit humain ait jamais osé imaginer.

Comme il y a des rapports déterminés entre les grandeurs finies, qui sont l’unique objet des recherches mathématiques, et les grandeurs de ces différens ordres d’infinis , on parvient par la voie de l’infini à des connaissances sur le fini, où ne pourrait jamais atteindre toute autre méthode, qui n’aurait pas l’audace, et en même temps l’adresse de manier l’infini. Le livre des infiniment petits fut donc tout brillant de vérités inconnues à la géométrie ancienne, et non-seulement inconnues, mais souvent inaccessibles à cette géométrie. Les anciennes vérités s’v trouvaient comme perdues dans

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la fouit: des nouvelles, et la facilité avec laquelle on les voyait naître, faisait regretter les efforts qu’elles avaient autrefois coûtés a leurs inventeurs. Des démonstrations qui par d’autres méthodes auraient demandé un circuit immense , en cas qu’elles eussent été possibles , ou qui même entre les mains d’un autre gépmctre instruit de la meme méthode , auraient encore été longues et embarrassées, étaient d’une simplicité et d’une brièveté qui les rendaient presque suspectes.

Tel est 1’efTet des méthodes générales , quand on a une fois su les découvrir. On est a la source, et on n’a plus qu’à se laisser aller au cours paisible des conséquences. Une seule règle du livre de M. de l’Hôpital donne des tangentes de toutes les courbes imaginables ; une autre, toutes les plus grandes ou plus petites appliquées, ou tous les points d’inflexion et de rebroussement, ou toutes les développées, ou toute la catoptrique à la fois, ou toute la dioptrique. Des traités entiers faits par de grands auteurs , se réduisent quelquefois à quelques corollaires que l’on rencontre en chemin , et qu’on distingue à peine dans la multitude; tout se rapporte à des espèces de systèmes que M. de l’Hôpital a commencé à mettre dans la géométrie , et qui vont y répandre un nouveau jour.

11 y a , surtout en mathématiques, plus de bons livres, qu’il y en a de bien faits ; c’est-à-dire , qu’on en voit assez qui peuvent instruire, et peu qui instruisent avec une eertaine-méthode , cl pour ainsi dire , avec un certain agrément. C'est bien assez d’avoir une bonne matière entre les mains, on se néglige sur la forme. M. de l’Hôpital a donné un livre aussi bienfaitque bon; il a eu l’art de ne faire d’une infinité de choses qu’un

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assez petit volume; il y a mis cette brièveté et cette netteté si délicieuse pour l’esprit, l’ordre et la précision des idées l’ont presque dispensé d’employer des paroles : il n’a voulu que faire penser, plus soigneux d’exciter les découvertes d’autrui, que jaloux d’étaler les siennes.

Aussi cet ouvrage a-t-il été reçu avec un applaudissement universel : car l’applaudissement est universel quand on peut très facilement compter dans toute l’Europe les suffrages qui manquent : et il doit toujours en manquer quelques uns aux choses nouvelles et originales, surtout quand elles demandent à être bien entendues. Ceux qui remarquent les événemens de l’histoire des sciences, savent avec quelle avidité l’analyse des infiniment petits a été saisie par tous les géomètres naissans, k qui l’ancienne et la nouvelle méthode sont indifférentes, et qui n’ont d’autre intérêt que celui d’être instruits. Comme le dessein de l’auteur avait été principalement de faire des mathématiciens, et de jeter dans les esprits les semences de la haute géométrie, il a eu le plaisir de voir qu’elles y fructifiaient tous les jours, et que des problèmes réservés autrefois à ceuxqui avaient vieilli dans les épines des mathématiques , devenaient des coups d’essai de jeunes gens. Apparemment la révolution deviendra encore plus grande , e t i 1 se sera i l trouvé avec le temps autant de disciples qu’il y eût eu de mathématiciens.

Après avoir vu l’utilité dont était son livre des infiniment petits , il s’etait engagé dans un autre travail aussi propre à faire des géomètres. Il embrassait dans ce dessein les sections coniques , les lieux géométriques , la construction des équations, et une théorie des courbes

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mécaniques. C’était proprement le plan de la géométrie de Descartes, mais plus étendu et plus complet. •Il ne prétendait pas que cet ouvrage fût aussi original ni aussi sublime que le premier. Il auraitpu tourner ses recherches du côté du calcul intégral, qui suit et qui suppose le différentiel, qui a de plus grandes difficultés, et jusqu’à présent insurmontables, et qui par-là occupe aujourd’hui les plus grands géomètres , et est devenu l’objet de leur ambition; mais il avait préféré une entreprise dont le public, devait tirer une instruction plus générale et plus nécessaire , et le zèle de la géométrie l’avait emporté sur l’intérét de sa gloire. Cependant je suis témoin qu’il ne pouvait s’empêcher de regretter le calcul intégral.

Cet ouvrage était presque fini , lorsqu’au commencement de 1704 il fut attaqué d’une fièvre qui ne paraissait d’abord aucunement dangereuse; mais comme on vit qu’elle résistait à tous les différens remèdes qu’on employait, on commença à craindre , elle malade n’attendit pas un plus grand péril pour songer à la mort. Il s’y disposa d’une manière très édifiante , et enfin il tomba dans une apoplexie, dont il mourut le lendemain 2 février, âgé de quarante-trois ans.

Quelques uns ont attribué sa mort aux excès qu’il avait faits dans les mathématiques ; et ce qui pourrait le confirmer, j’ai su de lui-même que souvent des matinées qu’il avait destinées à cette étude , étaient devenues des journées entières sans qu’il s’en aperçût. Il avait voulu y renoncer pour le soin de sa santé, mais il n’avait jamais pu soutenir cette privation plus de quatre jpurs. De plus, il sera assez naturel de croire qu’il avait dû faire de grands efforts d’esprit , quand on songera