CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

lion {b) par dx et que l'on intègre, on aura

-7- =: sinj: — 7,-^sin3a: 4- r^smoj? jSin7J: H-. . . .

En faisant dans cette dernière équation a? = -, on trouve

tt' I I I I

série déjà connue. On pourrait énumérer à Tinfini ces cas particuliers; mais il convient mieux à l'objet de cet Ouvrage de déterminer, eft suivant le même procédé, les valeurs de diverses séries formées de sinus ou de cosinus d'arcs multiples.

Soit

r =1 sinj? sin2a:-+- 7> sinSo: — y sinA^-H. • •

H sm(m — 1)0? smm^,

m étant un nombre pair quelconque. On tire de cette équation

■j- ^mcosa? — cosa^r 4- cosS^ — cos4^-i-. . .4- cos(m — i)^— cosmj^;

multipliant par 2sin^ et remplaçant chaque terme du second membre par la différence de deux sinus, on aura

2 sin:r^ =: sin(a7-f-^) — sin(j? — x)

— sin(2J7 -h j?) + sin(2j; — ac) -h sin(3,r -h jc) — sin(3j7 — x)

-h sin[(/?i — i)x-^x] — sin[(/w — i)X'— x] — sin(/n^4- x) -f- sin{mx — x)

et, en réduisant,

2s\nx-^ =:s\nx -i-sïnmx — s\n{mx -^x); h\ 21

la quantité

sinm j? — sin(mj' -f- x)

OU

f)-sm(i

sin( 7/1 j? H 1 — sin( mx -\ 1 —

équivaut à

xi X

2 sin - cos ( mx -H - |;

on a donc

, sin- ,

- :— =r . cos ( m X

dx 2 sinj?

OU

dy I

COS ( «I j: H j

dx 2 X"

2 cos -

on en conclut

Si Ton intègre par parties, en distinguant le facteur ou séc*-

cos-

qui doit être successivement différentié et le facteur cos(/wj:^-f- - j

que l'on intégrera plusieurs fois de suite, on formera une série dans

laquelle les puissances de m -h - entrent aux dénominateurs. Quant à

la constante, elle est nulle parce que la valeur de y commence avec celle de x. Il suit de là que la valeur de la suite finie

sinx sin2or -\- -^%\x\Zx — - sinSj: n — sinTx — . . . sinm^-

2 Ci 0 7 ' ni

diffère extrêmement peu de -> lorsque le nombre des termes est très grand; et, si ce nombre est infini, on a Téquation déjà connue

— =z sinj:- sînajp -H TrsinSx — y sin 4»^ 4- -sinSj:' — . . . .

CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 163 On pourrait aussi déduire de cette dernière série celle que nous avons donnée plus haut pour la valeur de 7-

Soit maintenant

y — -C0S2J? — yCOS^-^? -h ^COSDJ: — . . . 2 [\ D

H cos l'A m — 2 ) ^ CCS 2 m ./•,

m étant un nombre pair. Différentiant, multipliant par 2sin2ar, substituant les différences de cosinus et réduisant, on aura

dy ^ sin(2m -f- i)vr 2 -j^ — — tang.r H ^ —

ou

2^ = c — /tangj™c?x-h / - -^^ ;- djc.

Intégrant par parties le dernier terme du second membre et supposant m infini, on a

y^=LC-\ — logcosj:-.

Si, dans l'équation

y m - C0S2J:- — y C0S4^ "H 2?C0S6jc — tcCOSSj:-}-. . .,

on suppose x nulle, on trouve

donc

J ziz - log2 4- - lOg COSX.

On parvient ainsi à la série donnée par Euler

logf 2cos-.r j = cosx cos2jr -h ^ cos Sa? — ^cos4^ -h. . .

16i THÉORIE DE LA CHALEUR.

En appliquant le même procédé à l'équation

y = sinjr -f- TcsinSj: -\- -zs'mSx -i — sinTo: -h. . .,

on trouvera la série suivante, qui n'avait pas été remarquée :