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Ensuite on supposera que le nombre des termes de la série

ÇOScT — ^C0S3x 4- ttCOSSo? COS7d7 H-. . .,

au lieu d'être infini, est déterminé et égal à m. On considérera la valeur de cette suite finie comme une fonction de oo et de m. On réduira la valeur de la fonction en une série ordonnée suivant les puissances négatives de m: et l'on reconnaîtra que cette valeur approche d'autant plus d'être constante et indépendante de x, que m est un plus grand nombre (*).

(1) On remarquera que, dans cette étude de quelques séries particulières, Fourier suit précisément la méthode qui a permis plus tard à Dirichlet d'obtenir pour la première fois une théorie complètement rigoureuse des séries trigonométriques. Cette méthode consiste, comme on le voit, a exprimer par une intégrale définie la somme des m premiers termes de la série, puis à chercher la limite de celte intégrale. G. D.

CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 159 Soit j la fonction cherchée qui est donnée par Téquation

y =. COS^ — ttCOSSo: -h ttCOSSj? C0S7X -h. . . C0S(2W — l)uC,

le nombre m des termes étant supposé pair. Cette équation, différentiée par rapport à x^ donne

dy — ~— =sinj7 — sin3x-hsin5a7 — sïnnx -h, . ,

dx ^

-i- sin(2m — 3)0? — sin(a/n — i)x\

en multipliant par ^lûnix^ on a

— 2 -^ sin2j7= asinj^sinaj? — 2SÎn3xsin2J7-h 2 sin5a?sin2a7-^. . . dx

-^ 2 sin(2m — 3)j7sin2.r — 2 sin(2m — i)a:sin2j-.

Chaque terme du second membre étant remplacé par la différence de deux cosinus, on en conclura

dy , , , ^

— 2 -j- ^ïïi'XX =L cosi^— x) — cos3j7

— COS X 4- CCS 007

-+-cos3^ — COS 'jx — cos5.r4-cos ^x H- 00370: — cosiix

4- COS (2 m — 5) jF — COS (2 m — i)x — cos(2/n — Z)x H- cos(2w -H 1)0:.

Le second membre se réduit à cos(2/w -f- 1)0; — cos(2/w — i).r ou — 2sin2/na7sina;; donc

,=i pin

dx.

cosx

On intégrera le second membre par parties, en distinguant dans rintégrale le facteur ^inimxdx^ qui doit être intégré successivement,

et le facteur ou sécx que l'on doit différen tier successivement ; dési-

gnant les résultats de ces différentiations par séc'^, séc^^r, séc'"xy . . ., on aura

2y = const. C0S2 ma: sec ûc

^ im

H — ; — rsina/n^séc'^ h — ; — -cos'imxséd'x — . . .; ainsi la valeur de y^ ou

COSX — :rC0S3;r -H -^ COSOJ? C0S7A'-f-. . .H C0S(2W — i)x,

qui est une fonction de a? et /n, se trouve exprimée par une série infinie; et il est manifeste que, plus le nombre m augmente, plus la valeur de y approche de celle de la constante. C'est pourquoi, lorsque le nombre m est infini, la fonction y a une valeur déterminée qui est toujours la même, quelle que soit la valeur positive de Xy moindre que

-• Or, si l'on suppose l'arc x nul, on a

qui équivaut à 7 • Donc on aura généralement

(b) -7 rrrCOSJf — ;ïC0S3x-H ^COSDvT €08 707 H COSOJT —

Si dans cette équation on suppose ^= t' on trouvera