CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

d'employer et y chercher rorigine de cette limitation à laquelle les séries trigonométriques sont assujetties.

Pour y parvenir, il suflit de considérer que les valeurs exprimées par les suites infinies ne sont connues avec une entière certitude que dans les cas oii Ton peut assigner les limites de la somme des termes qui les complètent; il faut donc supposer qu'on emploie les premiers termes seulement de ces suites, et trouver les limites entre lesquelles le reste est compris.

Nous appliquerons cette remarque à l'équation

y = coSvT — T7C0s3.r -f- -cos5.r cosix -+-...

cos(2m — 3)vr cos(2/« — i)j^ 2 //i — 3 2 m — I '

le nombre des termes est pair et représenté par m\ on en déduit cette équation

dy ^xïiimx

dx cosj:'

d'où l'on peut tirer la valeur de j, en intégrant par parties. Or l'intégrale fuvdx peut être résolue en une série composée d'autant de termes qu'on le voudra, m et ^ étant des fonctions de x. On peut écrire, par exemple,

f uv dx r= c 4- « / ^' dx — -j- f dx f V dx

-^^fdxfdxfi>dx-j(d^^fdxfdxfvdxy

équation qui se vérifie d'elle-même par la différentiation. En désignant sin 2mx par v et séc r par w, on trouvera

2y r=c secxcos2wj? -t- — — -séc xsin2mx

I f séc'^^z'

-z — n séc''j:cos2ma7 — l tosimxd -^ — ^

Il s'agit maintenant de connaître les limites entre lesquelles est comprise Tintégrale

-; — r rcos2mvFé/séc'^

qui complète la suite. Pour former cette intégrale, il faudrait donner à l'arc X une infinité de valeurs, depuis o, terme où l'intégrale commence, jusqu'à X qui est la valeur finale de l'arc, déterminer pour chacune des valeurs de x celle de la différentielle rfséc"j? et celle du facteur cos2m^, et ajouter tous les produits partiels; or le facteur variable cos2/na7 est nécessairement une fraction positive ou négative : par conséquent, l'intégrale se compose de la somme des valeurs variables de la différentielle rfséc"»r, multipliées respectivement par des fractions. La valeur totale de cette intégrale est donc moindre que la somme des différentielles rfséc^j?, prises depuis x=^o jusqu'à x^ et elle est plus grande que cette même somme prise négativement; car, dans le premier cas, on remplace le facteur variable cos2wa7 par la quantité constante i, et, dans le second cas, on remplace ce facteur par — I. Or cette somme des différentielles rfséc"j7, ou, ce qui est la même chose, l'intégrale /rfséc"^, prise depuis a7 = o, est %kç!'x — séc"o; séc'^a? est une certaine fonction de a?, et séc"o est la valeur de cette fonction, prise en supposant l'arc a? nul (*). L'intégrale cherchée est donc comprise entre

H- (séc^x — séc"o) et — (séc'j? — séc'o); c'est-à-dire que, en représentant par k une fraction inconnue positive

(1) Fourier néglige d* énoncer ici une des conditions qui sont nécessaires pour Texactitude du raisonnement, à savoir que tous les éléments de l'intégrale

^(séc^j:)

soient de même signe. Cette condition est d'ailleurs satisfaite, comme on s'en assurera aisément. G. D.