CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL

ou négative, on aura toujours

On parvient ainsi à Inéquation

2y = c séco? cosa/wjr h — r — - séc'^ sin2m^-

séc''j7COS2mj? -f- — — -(séc^a: — séc^o).

2^ m* 1^ nv

dans laquelle la quantité-^ — i(séc"a7— séc"o) exprime exactement la somme de tous les derniers ternies de la série infinie.

Si l'on eût cherché deux termes seulement, on aurait eu l'équation

2Y=zc sécj?cos2w»r -f- , iSéc'j7sin2/wj: h — - — - (séc'^r — séc'o).

Il résulte de là que l'on peut développer la valeur de y en autant de termes que l'on voudra et exprimer exactement le reste de la série; on trouve ainsi cette suite d'équations

2r = c sécJT cos2mx -\ (sécj? — séco),

2 v=:z c sécj?cos2mx •+■ -- — Tséc'.r sin2//ijr h — . — r (séc'x — séc'o),

"^ 2 ni 2* m* 2- m* '

2 V — c seCvrcos2/«j7 H — i — - sec .r sni2/nx

H — - — rséc''j:cos2/7i^- H — - — îCséc'^a' — séc"©). 2'//i' 2^ m*

Le nombre k qui entre dans ces équations n'est pas le même pour toutes, et il représente dans chacune une certaine quantité qui est toujours comprise entre i et — i ; m est égal au nombre des termes de la suite

COSX — 7ïC0S0.27 -f- M COSOJT — ... cos(2/n — \)X,

dont la somme est désignée par y.

On ferait usage de ces équations si le nombre m était donné, et, quelque grand que fût ce nombre, on pourrait déterminer, aussi exactement qu'on le voudrait, la partie variable de la valeur de y. Si le nombre m est infini, comme on le suppose, on considérera la première équation seulement ; et il est manifeste que les deux termes qui suivent la constante deviennent de plus en plus petits; en sorte que iy a dans ce cas pour valeur exacte la constante c\ on détermine cette constante en supposant ^ = o dans la valeur de y y et Ton en conclut

- z=L COS^' — ôC0S3x 4- ttCOSSjC COSTcT H COSQX — . . . .

II est facile de voir maintenant que le résultat a nécessairement lieu si Tare x est moindre que -• En effet, attribuant à cet arc une valeur déterminée X aussi voisine de- qu'on voudra le supposer, on pourra toujours donner a m une valeur si grande que le terme

lin

(sécJ7 — séco)

qui complète la série devienne moindre qu'une quantité quelconque; mais l'exactitude de cette conclusion est fondée sur ce que le terme séco? n'acquiert point une valeur qui excède toutes les limites possibles, d'où il suit que le raisonnement ne peut s'appliquer au cas où

l'arc X n'est pas moindre que -•

On fera usage de la même analyse pour les séries qui expriment les

valeurs de -> logcosa?, et l'on pourra distinguer par ce moyen les

limites entre lesquelles la variable doit être comprise pour que le résultat du calcul soit exempt de toute incertitude; au reste, ces mêmes questions seront traitées ailleurs par une méthode fondée sur d'autres principes.