CHAPITRE III.-- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI
L'expression de la loi des températures fixes dans une lame solide suppose la connaissance de l'équation
- =cos.r — xCOsSj: -h rrcosox cos7»r h — cosqj: — . . . .
Voici le moyen le plus simple d'obtenir cette équation :
Si la somme de deux arcs équivaut au quart de la circonférence ^y le produit de leurs tangentes est i ; on a donc« en général,
(c) -7r=: arctan<çM -f-arclang-;
le signe arc tanga indique la longueur de l'arc dont la tangente est u; et l'on connaît depuis longtemps la série qui donne la valeur de cet arc; on aura donc le résultat suivant :
si maintenant on écrit e'^"*, au lieu de m, dans l'équation {c) et dans l'équation {d), on aura
- = arc tange*V^-+- arc tange-^N^ ,
r— cosx — ô cosoj: -h ^cosDo: cos?^ H — cosqjt — . . . .
La série de l'équation {d) est toujours divergente et celle de l'équation {b) est toujours convergente; sa valeur est-» ou — ^•
SECTION VI
SOLUTION GÉNÉHàLB.
On peut maintenant former la solution complète de la question que nous nous sommes proposée; car les coefficients de Téquation (b) (art. 168) étant déterminés, il ne reste plus qu'à les substituer; et Ton aura
'j- = e-* cos/ — ^ e'-' cos 3 j -h j^ e -^' cos 5/
e~'''cos7 V H — e~^'cosov
Cette valeur de i^ satisfait à l'équation
elle devient nulle lorsqu'on donne iiy une valeur égale à - ou '—^;
enfin, elle équivaut à l'unité toutes les fois que, x étant' nulle, y est
comprise entre et h Ainsi toutes les conditions physiques de
la question sont exactement remplies, et il est certain que, si l'on donnait à chaque point de la lame la température que l'équation (a) détermine, et si, en même temps, on entretenait la base A a la température I et le3 aréles infinies B et C a la température o, il serait impossible qu'il survint aucun changement dans le système des températures.
Le second membre de l'équation (a) étant réduit en une série extrêmement convergente, il est toujours facile de déterminer en nombre la température d'un point dont les coordonnées ce et y sont connues. Cette solution donne lieu à diverses conséquences qu'il est
