CHAPITRE lïl. - SOLIDE RECTANGULAIKE INFINI

nécessaire de remarquer, parce qu'elles appartiennent à la théorie générale.

Si le point /w, dont on considère la température fixe, est très éloigné de Torigine A, le second membre de l'équation (a) aura pour valeur extrêmement approchée €~^ cosy; il se réduit à ce premier terme si x est infini.

L'équation

r= —^"^ cos V

représente ainsi un état du solide qui se conserverait sans aucun changement, s'il était d'abord formé; il en serait de même de l'état exprimé par l'équation

i'zr: T—e'^-^cosSy,

• et, en général, chaque terme de la série correspond à un état particulier qui jouit de la même propriété. Tous ces systèmes partiels existent à la fois dans celui que représente l'équation (a); ils se superposent, et le mouvement de la chaleur a lieu pour chacun d'eux de la même manière que s'il était seul. Dans l'état qui répond à l'un quelconque de ces termes, les températures fixes des points de la base A diffèrent d'un point à un autre, et c'est la seule condition de la question qui ne soit pas remplie; mais l'état général qui résulte de la somme de tous les termes satisfait à cette même condition.

A mesure que le point dont on considère la température est plus éloigné de l'origine, le mouvement de la chaleur est moins composé : car, si la distance x a une valeur assez grande, chaque terme de la série est fort petit par rapport au précédent, de sorte que l'état de la lame échauffée est sensiblement représenté par les trois premiers termes, ou par les deux premiers, ou par le premier seulement, pour les parties de cette lame qui sont de plus en plus éloignées de l'origine.

La surface courbe dont l'ordonnée verticale mesure la température fixe ^ se forme en ajoulant les ordonnées d'une multitude de surfaces

particulières, qui ont pour équations

- =— ;je-'-^cos3j,

li 2 - ^,-5j: eos5j,

La première de celles-ci se confond avec la surface générale lorsque x est infinie, et elles ont une nappe asymptotique commune.

Si la différence v — v. de leurs ordonnées est considérée comme Tordonnée d'une surface courbe, cette surface se confondra, lorsque x est infinie, avec celle dont l'équation est

Tous les autres termes de la série donnent une conclusion semblable. . On trouverait encore les mêmes résultats si la section, à l'origine, au lieu d'être terminée, comme dans l'hypothèse actuelle, par une droite parallèle a l'axe des j, avait une figure quelconque formée de deux parties symétriques. On voit donc que les valeurs particulières

ae-^cos/, be-^-^ cos3/, c?"*' cos5/,

prennent leur origine dans la question physique elle-même et ont une relation nécessaire avec les phénomènes de la chaleur. Chacune d'elles exprime un mode simple suivant lequel la chaleur s'établit et se propage dans une lame rectangulaire, dont les côtés infinis conservent une température constante. Le système général des tenipératures se compose toujours d'une multitude de systèmes simples, et l'expression de leur somme n'a d'arbitraire que les coefficients a, A,

On peut employer l'équation (a) pour déterminer toutes les circonstances du mouvement permanent de la chaleur dans une lame rec-