CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIUE INFINI

tangulaire échauffée à son origine. Si Ton demande, par exemple, quelle est la dépense de la source de chaleur, c'est-à-dire quelle est la ({uantité qui, pendant un temps donné, pénètre à travers la base A et remplace celle qui s'écoule dans les masses froides B et C, il faul considérer que le flux perpendiculaire à l'axe des y a pour expression

— Ky-; la quantité qui, pendant l'instant dt^ s'écoule à travers une

particule dy de l'axe, est donc

— K-^—dvdli

et, comme les températures sont permanentes, le produit du flux pendant l'unité de temps est

On intégrera cette expression entre les limites j = — - et j = 4- f» afin de connaître la quantité totale qui traverse la base ou, ce qui est la même chose, on intégrera depuis y = o jusqu'à y = -> et l'on

An

prendra le double de la somme. La quantité -r- est une fonction de x

et y, dans laquelle on doit faire x = o, afin que le calcul se rapporte à la base A, qui coïncide avec l'axe des y. La dépense de la source de chaleur a donc pour expression

L'intégrale doit être prise depuis j= o jusqu'à y =z -^\ si, dans la

fonction ^j on ne suppose point x = Oy mais x = x, l'intégrale sera

une fonction de x qui fera connaître combien il s'écoule de chaleur pendant l'unité de temps, à travers une arête transversale placée à la distance x de l'origine.

Si l'on veut connaître la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, pénètre au delà d'une ligne tracée sur la lame parallèlement

ilï THÉORIE DE LA CHALEUR.

aux arêtes B et C, on se servira de l'expression — K j-> et, la multipliant par l'élément dx de la ligne tracée, on intégrera par rapport à x entre les termes donnés de la ligne; ainsi Tintégrale

or

fera connaître combien il s'écoule de chaleur à travers toute l'étendue

de la ligne; et si, avant ou après l'intégration, on fait y= -> on

connaîtra la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, sort de la lame en traversant l'arête intinie C. On pourra ensuite comparer cette dernière quantité a la dépense de la source de chaleur; car il €»st nécessaire que le foyer supplée continuellement la chaleur qui s'écoule dans les masses B et C. Si cette compensation n'avait pas lieu à chaque instant, le système des températures serait variable.

L'équation (a) donne

— K .— = -^- {e •'cos)' — e-^'^ Q,o%Zy H- e-*-^ ces 5 y —^-"-^cos; v 4-. . .);

(JJO i.

multipliant par dy, intégrant depuis j = o, on a

- — ( t'— ^sin>' — -e'-^sinS V -h ^e-'-^sin5>' e ''■^ sinTv 4-. . . ).

Si l'on fait v= - et si l'on double l'intégrale, on trouvera

pour l'expression de la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, traverse une ligne parallèle à la base et dont la distance à cette base est x.

On déduit aussi de l'équation (a)

— K-T-~ — (e -^sin >• — e'-^sinSr 4- e-^-^sin5 v ~ e* '•^81117 vh-. . .);