CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. nS donc l'intégrale

j dv

prise depuis œ = o, est

— (i — e~^) sinj — ^(i — e-")sin37-h-(i — e 5-^)810 5/ (i — e-'^) siii7> -h...

Si Ton retranche cette quantité de la valeur qu'elle prend lorsqu'on y fait X infini, on trouvera

■ — ( e-'sinv— ize-^^ sinSy -^ ^<?*-^ sin5 v — . . .

et, en faisant y— -> on aura l'expression de la quantité totale de

chaleur qui traverse l'arête infinie C, depuis le point dont la distance h l'origine est ^jusqu'à Textrémilé de la lame; cette quantité est

e-^-h -re-^^-h ^^e-**"-}- -e^'-'-h

on voit qu'elle équivaut à la moitié de celle qui pénètre pendant le même temps au delà de la ligne transversale tracée sur la lame à la distance ce de Torigine. Nous avons déjà remarqué que ce résultat est une conséquence nécessaire des conditions de la question; s'il n'avait pas lieu, la partie de la lame qui est placée au delà de la ligne transversale et se prolonge à l'infini ne recevrait point par ses bases une quantité de chaleur égale à celle qu'elle perd par ses deux arêtes; elle ne pourrait donc point conserver son état, ce qui est contraire à l'hypothèse, u

Quant à la dépense de la source de chaleur, on la trouve en supposant x = o dans l'expression précédente; elle acquiert par là une valeur infinie, et l'on en connaîtra la raison si Ton remarque que, d'après l'hypothèse, tous les points de la ligne A ont et conservent la température i ; les lignes parallèles qui sont très voisines de cette base ont aussi une température extrêmement peu différente de l'unité;

176 THÉORIE I)E LA CHALEUIt.

donc les extrémités de toutes ces lignes qui sont contiguës aux masses froides B et C leur communiquent une quantité de chaleur incomparablement plus grande que si le décrolssement de lu température était continu et insensible. Il existe dans cette première partie de la lame, aux extrémités voisines de B ou de C, une cawrac/e de chaleur ou un ilux infini. Ce résultat cesse d'avoir lieu lorsque la dislance x reçoit une valeur appréciable.

On a désigné par -;: la longueur de la base. Si on lui attribue une valeur quelconque 2/, il faudra écrire, au lieu de y, -tc jj et. multipliant aussi les valeurs de x par —., on écrira -n y au lieu de -r. Désignant par A la température constante de la hase, on remplacera v par 7-- Ces substitutions étant faites dans l'équation (a), on a

1 i'= — ( e " cos-^ — -„f " cos3 — ,- 1 7: \ 3/3 a/

(If)

' +-« .'cos.^--. "cos7^+...).

Celte équation représente exactement le système des températures permanentes dans un prisme rectangulaire infini, compris entre deux masses de glace fi et C et une source de chaleur constante.

Il est facile de voir, soit au moy.en de celte équation, soit d'après l'article 171, que la chaleur se propage dans ce solide en s'éloignant de plus en plus de l'origine, en même temps qu'elle se dirige vers les faces infinies B et C. Chaque section parallèle à celle de la hase est traversée par une onde de chaleur qui se renouvelle à chaque instant et conserve la même intensité; cette intensité est d'autant moindre que'la section est plus distante de l'origine. It s'opère un mouvement' semblable, par rapport à un plan quelconque parallèle aux faces inû-