CHAPITRE m. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI
nies; chacun de ces plans est traversé par une onde constante qui porte sa chaleur aux masses latérales.
Nous aurions regardé comme inutiles les développements contenus dans les articles précédents, si nous n'avions point à exposer une théorie entièrement nouvelle, dont il est nécessaire de fixer les principes. C'est dans cette même vue que nous ajouterons les remarques suivantes.
Chacun des termes de l'équation (a) correspond à un seul système particulier de températures, qui pourrait subsister dans une lame rectangulaire échauffée par son extrémité et dont les arêtes infinies sont retenues à une température constante. Ainsi l'équation ç' = e"*cosj représente les températures permanentes, lorsque les points de la base A sont assujettis à une température fixe, désignée par cosj. On peut concevoir maintenant que la lame échauffée fait partie du plan qui se prolonge à l'infini dans tous les sens; en désignant par ^ et j les coordonnées d'un point quelconque de ce plan et par v la temperature du même point, on appliquera au plan tout entier l'équation
V ■=. e~* cos/ ;
par ce moyen, les arêtes B et C auront la température constante o;
mais il n'en sera pas de même des parties contiguës; elles recevront
et conserveront une température moindre. La base A aura dans tous
ses points la température permanente désignée par cosy, et les parties
contiguës auront une température plus élevée.
Si Ton construit la surface courbe dont l'ordonnée verticale équi-
vaut k la température permanente de chaque point du plan, et si on la
coupe par un plan vertical passant par la ligne A ou parallèle à cette
ligne, la figure de la section sera celle d'une ligne trigonométrique
dont l'ordonnée représente la suite infinie et périodique des cosinus.
Si l'on coupe cette même surface courbe par un plan vertical parallèle
à l'axe des x^ la figure de la section sera dans toute son étendue celle
d'une courbe logarithmique.
On voit par là de quelle manière le calcul satisfait aux deux conditions de riiypothèse, qui assujettissent la ligne à une température égale à cosj, et les deux côtés B et C à la température o. Lorsqu'on exprime ces deux conditions, on résout en effet la question suivante : Si la lame échauffée faisait partie d'un plan infini, quelles devraient être les températures de tous les points de ce plan pour que le système fût de lui-même permanent, et que les températures fixes des côtés du rectangle infini fussent celles qui sont données par l'hypothèse?
Nous avons supposé précédemment que des causes extérieures quelconques retenaient les faces du solide rectangulaire infini, l'une à la température i , et les deux autres a la température o. On peut se représenter cet effet de différentes manières; mais l'hypothèse propre au calcul consiste à regarder le prisme comme une partie d'un solide dont toutes les dimensions sont infinies et à déterminer les températures de la masse qui l'environne, en sorte que les conditions relatives à la surface soient toujours observées.
Pour connaître le système des températures permanentes dans une lame rectangulaire dont l'extrémité A est entretenue à la température I , et les deux arêtes infinies k la température o, on pourrait considérer les changements que subissent les températures, depuis l'état initial qui est donné jusqu'à l'état fixe qui est l'objet de la question. On déterminerait ainsi l'état variable du solide pour toutes les valeurs du temps, et l'on supposerait ensuite cette valeur infinie.
La méthode que nous avons suivie est différente et conduit plus immédiatement à l'expression de l'état final, parce qu'elle est fondée sur une propriété distinctive de cet état. On v^ prouver maintenant que la question n'admet aucune autre solution que celle que nous avons rapportée. Celte démonstration résulte des propositions suivantes.
