CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL 186 on a

La première série est une fonction de oo — yyj— i, et la seconde est la même fonction de ce -^ysj-— i .

En comparant ces séries au développement connu de l'arc arc tangs en fonction de z, on voit sur-le-champ que la première est

arclange-('->'v'^),

et que la seconde est

arclange-:(-^-^>'v^);

ainsi l'équation (a) prend cette forme finie

(B) — =r arc tange-(-^-^:>^v/"^) 4- arc tangc-(^-yv^^).

C'est de cette manière qu'elle rentre dans l'intégrale générale (A); la fonction 9(5) est arctange"^, et il en est de même de la fonction ^(s). Si, dans l'équation (B), on désigne le premier terme du second membre par/? et le second par q, on aura

-7rr=ij5H-g', tang/^^e-C-^-^^NZ-O, lang^ rr: ^- (-^ ^VO;

donc

le ^ cos y 1 cos r

tang(/?-+-^)=- — ^ - •:=

on en déduit l'équation

/r«x * , 2C0Sr

C'est la forme la plus simple sous laquelle on puisse présenter la solu tion de la question.

Cette valeur de i^ ou ç(^, j) satisfait aux conditions relatives aux extrémités du solide., qui sont

9(x, dr j7r)=:o et 9(0,7)1=11;

elle satisfait aussi à l'équation générale

puisque l'équation (C) est une transformée de l'équation (B). Donc elle représente exactement le système des températures permanentes; et, comme ce dernier état est unique, il est impossible qu'il y ait aucune autre solution, ou plus générale, ou plus restreinte.

L'équation (C) fournit, au moyen des Tables, la valeur de l'une des trois indéterminées ^, x, j, lorsque les deux autres sont données; elle fait connaître très clairement la nature de la surface qui a pour ordonnée verticale la température permanente d'un point donné de la lame solide. Enfin on déduit de cette même équation les valeurs des coefficients difi^érentiels 3- ^t ^ qui mesurent la vitesse avec laquelle la

chaleur s'écoule dans les deux directions orthogonales; et l'on connaîtra par conséquent la valeur du flux dans toute autre direction. Ces coefficients sont exprimés ainsi

dvC TT e'-^H- 2COS27 -+- e-*-^

-5- = sm/

dy TT '^ <?'•*-!- 2C0S37 -h e-**

On remarquera que, dans l'article 194, la valeur de -^ et celle de ^

sont données par des séries infinies dont il est facile de trouver la somme en remplaçant les quantités trigonométriques par des expo-