CHAPITRE III, - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL

nentielles imaginaires. On obtient ainsi ces mêmes valeurs de ^ et ^ que nous venons de rapporter.

La question que l'on vient de traiter est la première que nous ayons résolue dans la théorie de la chaleur, ou plutôt dans la partie de cette théorie qui exige l'emploi de l'Analyse. Elle fournit des applications numériques très faciles, soit que l'on fasse usage des Tables trigonométriques ou des séries convergentes, et elle représente exactement toutes les circonstances du mouvement de la chaleur. Nous passerons maintenant à des considérations plus générales.

SECTION VI

DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION ARBrrRAIRE EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.

La question de la propagation de la chaleur dans un solide rectangulaire a conduit à l'équation

ÔJc'^ à y

et, si l'on suppose que tous les points de l'une des faces du solide ont une température commune, il faut déterminer les coefficients a, 6, c, rf, e, . . . de la série

a C0SJ7 -4- ^cos3^ -h ccos5j7 -+- dcosja: -h. . .,

en sorte que la valeur de cette fonction soit égale à une constante

toutes les fois que Tare x est compris entre et h On vient

d'assigner la valeur de ces coefficients; mais on n'a traité qu'un seul cas d'un problème plus général, qui consiste à développer une fonction quelconque en une suite infinie de sinus ou de cosinus d'arcs multiples. Cette question est liée à la théorie des équations aux différences partielles et a été agitée dès l'origine de cette analyse. Il était néces-

saire de la résoudre pour intégrer convenablement les équations de la propagation de la chaleur; nous allons en exposer la solution.

On examinera, en premier lieu, le cas où il s'agit de réduire en une série de sinus d'arcs multiples une fonction dont le développement ne contient que des puissances impaires de la variable. Désignant une telle fonction par 9(^0, on posera l'équation

<p(.r) =: a sin,r -h h %\ï\.ix h- c sinS^r -h d%\x\!\x -+-...,

et il s'agit de déterminer la valeur des coefficients «, 6, c, r/, On

écrira d'abord l'équation

dans laquelle ?'(o), ç"(o), ^'"{o), 9'''(o), . . . désignent les valeurs que prennent les coefficients

r/ 9 ( a- ) d/* 9 ( .r ) ^9(0:) c^* 9 ( .r ) cix dx- dx^ dx^

lorsqu'on y suppose œ = o. Ainsi, en représentant le développement selon les puissances de x par l'équation

<p(x)Ax l^£,^Cj^^ D

on aura

Si maintenant on compare l'équation précédente à celle-ci

9(j?) =1 a sinx -\- b sin2 j; -\- c sin3^ -+- d sin4-r -h • • • , en développant le second membre par rapport aux puissances de^, on